Giảiiiiiiiiiiiiiiiii

Bài 1. Câu hỏi: Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \). Trả lời: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \), ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản. Nguyên hàm của \( x^n \) là \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \) (với \( n \neq -1 \)). Do đó, ta có: \[ \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx + \int 1 \, dx \] Tính từng nguyên hàm riêng lẻ: \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] \[ \int 1 \, dx = x \] Vậy nguyên hàm của \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) là: \[ \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^3 + x^2 + x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số nguyên hàm. Đáp số: \( x^3 + x^2 + x + C \). Câu 1. Để xác định hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \), ta cần kiểm tra điều kiện nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng. Theo định nghĩa của nguyên hàm, hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \) nếu và chỉ nếu đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \) tại mọi điểm thuộc khoảng \( K \). Điều này có thể viết dưới dạng: \[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. \( F'(x) = -f(x), \quad \forall x \in K \) - Điều này không đúng vì đạo hàm của \( F(x) \) phải bằng \( f(x) \), không phải là \( -f(x) \). B. \( f'(x) = F(x), \quad \forall x \in K \) - Điều này không đúng vì đạo hàm của \( f(x) \) không liên quan trực tiếp đến \( F(x) \) theo định nghĩa nguyên hàm. C. \( F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K \) - Điều này đúng theo định nghĩa nguyên hàm. D. \( f'(x) = -F(x), \quad \forall x \in K \) - Điều này không đúng vì đạo hàm của \( f(x) \) không liên quan trực tiếp đến \( -F(x) \) theo định nghĩa nguyên hàm. Do đó, đáp án đúng là: C. \( F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K \) Đáp án: C. \( F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K \) Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về mối quan hệ giữa hàm số $F(x)$ và $f(x)$ trong ngữ cảnh của nguyên hàm và đạo hàm. - Nguyên hàm: Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$, thì $F'(x) = f(x)$. - Đạo hàm: Đạo hàm của một nguyên hàm sẽ đưa ta trở lại hàm ban đầu. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. $F(x) = f'(x)$: - Điều này sai vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$, tức là $F'(x) = f(x)$, không phải $F(x) = f'(x)$. B. $F'(x) = f(x)$: - Điều này đúng theo định nghĩa của nguyên hàm. C. $(\int f(x)dx)' = F'(x)$: - Điều này đúng vì $\int f(x)dx = F(x) + C$, và đạo hàm của $F(x) + C$ là $F'(x)$. D. $\int f(x)dx = F(x) + C$: - Điều này đúng theo định nghĩa của nguyên hàm. Do đó, mệnh đề sai là: A. $F(x) = f'(x)$ Đáp án: A. Câu 3. Để kiểm tra tính đúng đắn của các mệnh đề, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc về nguyên hàm. (I). $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) + g(x)$. Theo quy tắc tổng của nguyên hàm: \[ \int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx = F(x) + G(x) + C \] Do đó, $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) + g(x)$. Mệnh đề này đúng. (II). $k.F(x)$ là một nguyên hàm của $k.f(x)$ với $k \in \mathbb{R}^$. Theo quy tắc nhân hằng số với nguyên hàm: \[ \int k.f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx = k.F(x) + C \] Do đó, $k.F(x)$ là một nguyên hàm của $k.f(x)$. Mệnh đề này đúng. (III). $F(x).G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x).g(x)$. Theo quy tắc tích của nguyên hàm, không có quy tắc nào cho phép chúng ta kết luận rằng tích của hai nguyên hàm là nguyên hàm của tích của hai hàm số ban đầu. Do đó, $F(x).G(x)$ không phải là một nguyên hàm của $f(x).g(x)$. Mệnh đề này sai. Tóm lại, các mệnh đề đúng là (I) và (II). Đáp án: A. (I) và (II). Câu 4. Để tính tích phân \( I = \int [2g(x) - f(x)] \, dx \), ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Bước 1: Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân: \[ I = \int [2g(x) - f(x)] \, dx = \int 2g(x) \, dx - \int f(x) \, dx \] Bước 2: Tính từng phần tích phân riêng lẻ: \[ \int 2g(x) \, dx = 2 \int g(x) \, dx = 2F_2(x) + C_1 \] \[ \int f(x) \, dx = F_1(x) + C_2 \] Bước 3: Kết hợp lại: \[ I = 2F_2(x) + C_1 - (F_1(x) + C_2) \] \[ I = 2F_2(x) - F_1(x) + (C_1 - C_2) \] Bước 4: Gộp hằng số tích phân lại thành một hằng số tổng quát \( C \): \[ I = 2F_2(x) - F_1(x) + C \] Vậy đáp án đúng là: C. \( 2F_2(x) - F_1(x) + C \) Đáp án: C. \( 2F_2(x) - F_1(x) + C \) Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm nguyên hàm của \(5^x\) và sau đó xác định đạo hàm của hàm số \(F(x)\). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \(5^x\). Nguyên hàm của \(5^x\) là: \[ \int 5^x \, dx = \frac{5^x}{\ln 5} + C \] Do đó, ta có: \[ F(x) = \frac{5^x}{\ln 5} + C \] Bước 2: Xác định đạo hàm của \(F(x)\). Đạo hàm của \(F(x)\) là: \[ F'(x) = \left( \frac{5^x}{\ln 5} + C \right)' = \frac{d}{dx} \left( \frac{5^x}{\ln 5} \right) + \frac{d}{dx}(C) \] Vì đạo hàm của hằng số \(C\) là 0, ta có: \[ F'(x) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{d}{dx}(5^x) = \frac{1}{\ln 5} \cdot 5^x \ln 5 = 5^x \] Vậy, đạo hàm của \(F(x)\) là: \[ F'(x) = 5^x \] Do đó, khẳng định đúng là: D. \(F'(x) = 5^x.\) Đáp án: D. \(F'(x) = 5^x.\) Câu 6. Câu hỏi 1: $\int x^4 dx$ bằng Ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\] Áp dụng vào bài toán: \[\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C\] Vậy đáp án đúng là: A. $\frac{1}{5}x^5 + C$ Câu hỏi 2: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt{2x - 1}$. Ta có: \[f(x) = \sqrt{2x - 1}\] Để tìm nguyên hàm của $f(x)$, ta thực hiện phép đổi biến số. Đặt: \[u = 2x - 1 \Rightarrow du = 2 dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2}\] Do đó: \[\int f(x) dx = \int \sqrt{2x - 1} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du\] Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \[\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C\] Ta có: \[\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C\] Thay lại $u = 2x - 1$, ta được: \[\int f(x) dx = \frac{1}{3} (2x - 1)^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (2x - 1) \sqrt{2x - 1} + C\] Vậy đáp án đúng là: B. $\frac{1}{3} (2x - 1) \sqrt{2x - 1} + C$ Câu 8 Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos(3x) \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi \( u = 3x \). Khi đó, \( du = 3 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{du}{3} \). Bước 2: Thay đổi biến số trong nguyên hàm. \[ \int \cos(3x) \, dx = \int \cos(u) \cdot \frac{du}{3} \] Bước 3: Tính nguyên hàm của hàm số mới. \[ \int \cos(u) \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \cos(u) \, du \] Ta biết rằng nguyên hàm của \( \cos(u) \) là \( \sin(u) \), do đó: \[ \frac{1}{3} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{3} \sin(u) + C \] Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. Thay \( u = 3x \) vào kết quả trên: \[ \frac{1}{3} \sin(u) + C = \frac{1}{3} \sin(3x) + C \] Vậy nguyên hàm của \( f(x) = \cos(3x) \) là: \[ \int \cos(3x) \, dx = \frac{\sin(3x)}{3} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( \int \cos(3x) \, dx = \frac{\sin(3x)}{3} + C \) Đáp án: B. \( \int \cos(3x) \, dx = \frac{\sin(3x)}{3} + C \)