Tìm tiệm cận đứng cho tớ với ạ

Để tìm tiệm cận đứng của hàm số \( f(x) = \frac{1}{\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + 3} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( f(x) \) sẽ không xác định khi mẫu số của nó bằng 0. Do đó, ta cần tìm các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0. Mẫu số của \( f(x) \) là: \[ \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + 3 \] Ta đặt: \[ \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + 3 = 0 \] Điều này tương đương với: \[ \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} = -3 \] Nhân cả hai vế với \( x + 1 \): \[ x^2 - 2x + 6 = -3(x + 1) \] Rút gọn: \[ x^2 - 2x + 6 = -3x - 3 \] \[ x^2 - 2x + 6 + 3x + 3 = 0 \] \[ x^2 + x + 9 = 0 \] Phương trình \( x^2 + x + 9 = 0 \) không có nghiệm thực vì \( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35 < 0 \). 2. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến các giá trị làm cho mẫu số bằng 0: Ta thấy rằng mẫu số \( \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + 3 \) không bao giờ bằng 0, do đó hàm số \( f(x) \) không có điểm bất định do mẫu số bằng 0. 3. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: Ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \( \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + 3 \right) \] Chia cả tử và mẫu của phân số trong mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{x - 2 + \frac{6}{x}}{1 + \frac{1}{x}} + 3 \right) \] Khi \( x \to \pm \infty \), các phân số \( \frac{6}{x} \) và \( \frac{1}{x} \) tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{x - 2}{1} + 3 \right) = \lim_{x \to \pm \infty} (x - 2 + 3) = \lim_{x \to \pm \infty} (x + 1) = \pm \infty \] Do đó: \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x + 1} = 0 \] 4. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến giá trị làm cho mẫu số bằng 0: Ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến giá trị làm cho mẫu số bằng 0, tức là \( x = -1 \): \[ \lim_{x \to -1} \left( \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + 3 \right) \] Thay \( x = -1 \) vào mẫu số: \[ \frac{(-1)^2 - 2(-1) + 6}{-1 + 1} + 3 = \frac{1 + 2 + 6}{0} + 3 = \frac{9}{0} + 3 \] Khi \( x \) tiến đến \(-1\) từ bên trái (\( x \to -1^- \)): \[ \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} \to -\infty \] \[ \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + 3 \to -\infty \] \[ f(x) = \frac{1}{\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + 3} \to 0 \] Khi \( x \) tiến đến \(-1\) từ bên phải (\( x \to -1^+ \)): \[ \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} \to +\infty \] \[ \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + 3 \to +\infty \] \[ f(x) = \frac{1}{\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 1} + 3} \to 0 \] Do đó, hàm số \( f(x) \) không có tiệm cận đứng. Đáp số: Hàm số không có tiệm cận đứng.