éc o éc...

Câu 2: Để tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-x-6}{x+1}$ mà hoành độ, tung độ đều là số nguyên, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện xác định của hàm số là: \[ x + 1 \neq 0 \] \[ x \neq -1 \] Bước 2: Biến đổi biểu thức Ta có: \[ y = \frac{x^2 - x - 6}{x + 1} \] Phân tích tử số: \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \] Do đó: \[ y = \frac{(x - 3)(x + 2)}{x + 1} \] Bước 3: Tìm các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( y \) cũng là số nguyên Để \( y \) là số nguyên, phân số \(\frac{(x - 3)(x + 2)}{x + 1}\) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \((x - 3)(x + 2)\) chia hết cho \(x + 1\). Ta xét các trường hợp: - \( x = -2 \): \[ y = \frac{(-2 - 3)(-2 + 2)}{-2 + 1} = \frac{(-5)(0)}{-1} = 0 \] Điểm: \((-2, 0)\) - \( x = -3 \): \[ y = \frac{(-3 - 3)(-3 + 2)}{-3 + 1} = \frac{(-6)(-1)}{-2} = 3 \] Điểm: \((-3, 3)\) - \( x = 0 \): \[ y = \frac{(0 - 3)(0 + 2)}{0 + 1} = \frac{(-3)(2)}{1} = -6 \] Điểm: \((0, -6)\) - \( x = 1 \): \[ y = \frac{(1 - 3)(1 + 2)}{1 + 1} = \frac{(-2)(3)}{2} = -3 \] Điểm: \((1, -3)\) - \( x = 2 \): \[ y = \frac{(2 - 3)(2 + 2)}{2 + 1} = \frac{(-1)(4)}{3} = -\frac{4}{3} \] (không thỏa mãn vì \( y \) không là số nguyên) - \( x = 3 \): \[ y = \frac{(3 - 3)(3 + 2)}{3 + 1} = \frac{(0)(5)}{4} = 0 \] Điểm: \((3, 0)\) Bước 4: Kết luận Các điểm thuộc đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - x - 6}{x + 1} \) mà hoành độ, tung độ đều là số nguyên là: \[ (-2, 0), (-3, 3), (0, -6), (1, -3), (3, 0) \] Đáp số: \((-2, 0)\), \((-3, 3)\), \((0, -6)\), \((1, -3)\), \((3, 0)\). Câu 3: Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABCD là hình chữ nhật với \( AB = 3 \) và \( AD = 1 \). - \( SA \perp (ABCD) \), tức là SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. - \( SC \) tạo với mặt đáy một góc \( 45^\circ \). Ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \( \overrightarrow{SC} \) và \( \overrightarrow{CA} \). Bước 1: Xác định tọa độ các điểm trong hệ tọa độ Oxyz, lấy A làm gốc tọa độ: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(3, 0, 0) \) - \( D(0, 1, 0) \) - \( C(3, 1, 0) \) Bước 2: Tìm tọa độ của điểm S: - Vì \( SA \perp (ABCD) \), ta có \( S(0, 0, h) \) với \( h \) là chiều cao từ S xuống đáy. - \( SC \) tạo với mặt đáy một góc \( 45^\circ \). Ta có: \[ \tan 45^\circ = \frac{h}{AC} \] \[ AC = \sqrt{(3-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] \[ \tan 45^\circ = 1 \Rightarrow h = \sqrt{10} \] Do đó, tọa độ của S là \( S(0, 0, \sqrt{10}) \). Bước 3: Xác định các vectơ: - \( \overrightarrow{SC} = (3 - 0, 1 - 0, 0 - \sqrt{10}) = (3, 1, -\sqrt{10}) \) - \( \overrightarrow{CA} = (0 - 3, 0 - 1, 0 - 0) = (-3, -1, 0) \) Bước 4: Tính tích vô hướng của hai vectơ \( \overrightarrow{SC} \) và \( \overrightarrow{CA} \): \[ \overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{CA} = (3)(-3) + (1)(-1) + (-\sqrt{10})(0) \] \[ = -9 - 1 + 0 \] \[ = -10 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ \( \overrightarrow{SC} \) và \( \overrightarrow{CA} \) là \(-10\).