giải các bài tập

Câu 10. Trước tiên, ta xác định các mặt phẳng liên quan và các đường thẳng trong hình chóp S.ABCD. - Đáy ABCD là hình vuông, do đó các cạnh AB, BC, CD, DA đều bằng nhau và vuông góc với nhau. - SB ⊥ (ABCD), tức là SB vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Bây giờ, ta xét từng khẳng định: A. $$: - Ta cần kiểm tra xem có đường thẳng nào trong mặt phẳng (SKC) vuông góc với mặt phẳng (SCA) hay không. - Vì E là trung điểm của BC và K là trung điểm của BA, SK là đường thẳng nối đỉnh S với trung điểm của BA, và SC là đường thẳng nối đỉnh S với đỉnh C của hình vuông. - Tuy nhiên, không có đường thẳng nào trong (SKC) vuông góc trực tiếp với (SCA), nên khẳng định này sai. B. $$: - Ta cần kiểm tra xem có đường thẳng nào trong mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SBA) hay không. - Vì SB ⊥ (ABCD), SB cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (SBA). - Mặt khác, BD nằm trong (ABCD) và vuông góc với BA (vì ABCD là hình vuông), do đó BD ⊥ (SBA). - Vậy (SBD) ⊥ (SBA), khẳng định này đúng. C. $$: - Ta cần kiểm tra xem có đường thẳng nào trong mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (BCDA) hay không. - Vì SB ⊥ (ABCD), SB cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (BCDA). - Tuy nhiên, không có đường thẳng nào trong (SBC) vuông góc trực tiếp với (BCDA), nên khẳng định này sai. D. $$: - Ta cần kiểm tra xewear có đường thẳng nào trong mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SBD) hay không. - Vì SB ⊥ (ABCD), SB cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (SBD). - Tuy nhiên, không có đường thẳng nào trong (SBC) vuông góc trực tiếp với (SBD), nên khẳng định này sai. Kết luận: Khẳng định đúng là B. $$. Câu 11. Trước tiên, ta xét các vectơ trong hình hộp ABCD.$$: - $$ là vectơ từ đỉnh $$ xuống đáy, tức là vectơ đứng thẳng từ $$ xuống $$. - $$ là vectơ nằm trên mặt đáy trên, từ $$ sang $$. - $$ là vectơ nằm trên mặt đáy trên, từ $$ sang $$. Ta cần tìm tổng của ba vectơ này: $$ Ta thấy rằng: - $$ và $$ nằm trên cùng một mặt đáy trên và chúng tạo thành vectơ $$ (vì $$ là đỉnh chung của hai vectơ này). Do đó: $$ Tiếp theo, ta cộng thêm vectơ $$ vào: $$ Ta nhận thấy rằng $$ là vectơ đứng thẳng từ $$ xuống $$, và $$ là vectơ nằm trên mặt đáy trên từ $$ sang $$. Tổng của hai vectơ này sẽ là vectơ từ $$ xuống $$ rồi sang $$, tức là vectơ $$. Vậy: $$ Đáp án đúng là B. $$. Câu 12. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $$, ta cần quan sát đồ thị của hàm số và tìm các khoảng mà trên đó đường đồ thị đi từ trái sang phải và tăng dần. Trên đồ thị, ta thấy: - Từ $$ đến $$, đường đồ thị đi từ trái sang phải và giảm dần, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $$. - Từ $$ đến $$, đường đồ thị đi từ trái sang phải và tăng dần, do đó hàm số đồng biến trên khoảng $$. - Từ $$ đến $$, đường đồ thị đi từ trái sang phải và giảm dần, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $$. Do đó, hàm số $$ đồng biến trên khoảng $$. Vậy đáp án đúng là: B. $$. Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Hàm số có giá trị cực đại là 7, giá trị cực tiểu là 3. Đầu tiên, chúng ta cần tìm các điểm cực trị của hàm số $$. Để làm điều này, chúng ta tính đạo hàm của hàm số: $$ Tiếp theo, chúng ta tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: $$ $$ $$ $$ Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị của hàm số tại các điểm này: - Khi $$: $$ - Khi $$: $$ Vậy, giá trị cực đại của hàm số là 7, đạt được khi $$, và giá trị cực tiểu của hàm số là 3, đạt được khi $$. b) $$ Đạo hàm của hàm số $$ đã được tính ở trên là: $$ c) Hàm số đạt cực tiểu tại $$ và đạt cực đại tại $$ Chúng ta đã tìm thấy các điểm cực trị là $$ và $$. Để xác định loại cực trị, chúng ta kiểm tra dấu của đạo hàm $$ trong các khoảng xung quanh các điểm này: - Khi $$, $$ - Khi $$, $$ - Khi $$, $$ Do đó: - Hàm số đạt cực tiểu tại $$ - Hàm số đạt cực đại tại $$ d) Hàm số nghịch biến trên khoảng $$ Từ việc kiểm tra dấu của đạo hàm $$ trong các khoảng xung quanh các điểm cực trị, chúng ta thấy rằng: - Khi $$, $$ Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng $$, không phải nghịch biến. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định vận tốc của vật tại thời điểm $$ Theo đề bài, vận tốc của vật được xác định bởi: $$ Bước 2: Tính quãng đường vật đi được trong 1 giây đầu tiên Quãng đường vật đi được trong 1 giây đầu tiên được xác định bởi tích phân: $$ Trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giây, vận tốc của vật là $$. Do đó, ta có: $$ Bước 3: Tính tích phân Ta tính tích phân: $$ Tích phân của $$ là: $$ Do đó: $$ Kết luận Quãng đường vật đi được trong 1 giây đầu tiên là: $$ Đáp số: $$ Câu 2. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Phần a) Đường thẳng mô tả đường đi của máy bay đi qua điểm $$. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $$ và có vectơ phương là $$: $$ Phần b) Vị trí đầu tiên mà máy bay xuất hiện trên màn hình radar là điểm $$. Điều kiện để máy bay xuất hiện trên màn hình radar là khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu phải nhỏ hơn hoặc bằng 417 km. Ta tính khoảng cách từ điểm $$ đến điểm $$: $$ Do đó, điểm $$ nằm trên đường tròn bán kính 417 km, tức là máy bay xuất hiện trên màn hình radar tại điểm này. Phần c) Nếu thời gian máy bay xuất hiện trên màn hình radar là 30 phút thì thời gian máy bay di chuyển từ M đến khi xuất hiện lần cuối cùng trên màn hình radar là 54 phút. Ta cần tìm thời gian máy bay di chuyển từ điểm $$ đến điểm $$. Gọi thời gian này là $$, ta có: $$ Giải phương trình: $$ $$ Thời gian máy bay xuất hiện trên màn hình radar là 30 phút, do đó thời gian máy bay di chuyển từ $$ đến khi xuất hiện lần cuối cùng trên màn hình radar là: $$ Tuy nhiên, theo đề bài, thời gian máy bay di chuyển từ $$ đến khi xuất hiện lần cuối cùng trên màn hình radar là 54 phút, nên có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc dữ liệu đã cho. Phần d) Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu luôn lớn hơn 204 km. Ta cần kiểm tra khoảng cách từ điểm $$ đến điểm $$: $$ Khoảng cách này lớn hơn 204 km, do đó khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu luôn lớn hơn 204 km. Kết luận a) Phương trình tham số của đường thẳng mô tả đường đi của máy bay: $$ b) Điểm $$ là vị trí đầu tiên máy bay xuất hiện trên màn hình radar. c) Thời gian máy bay di chuyển từ $$ đến khi xuất hiện lần cuối cùng trên màn hình radar là 54 phút. d) Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu luôn lớn hơn 204 km. Câu 3. a) Đúng vì hàm số $$ có tập xác định là $$ b) Đúng vì đạo hàm của hàm số $$ là $$ với mọi $$ c) Đúng vì $$ d) Đúng vì phương trình $$ tương đương với $$ Theo tính chất đã chứng minh ở câu c), ta có $$ Do đó, $$ suy ra $$ Phương trình này có 4 nghiệm trong khoảng $$ tổng của chúng bằng $$ Câu 4. a) Ta có: $$ b) Ta có: $$ c) Ta có: $$ d) Ta có: $$ Ta lại có: $$ Do đó: $$ Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định số chuyến xe cần thiết. 2. Tìm giá tiền cho mỗi người trong mỗi chuyến xe. 3. Tính tổng số tiền cần trả. Bước 1: Xác định số chuyến xe cần thiết Số người trong đoàn là 40 người và mỗi xe có sức chứa tối đa là 20 người. Do đó, chúng ta cần ít nhất 2 chuyến xe để chở hết 40 người. Bước 2: Tìm giá tiền cho mỗi người trong mỗi chuyến xe Giá tiền cho mỗi người trong một chuyến xe chở x người là: $$ Vì mỗi chuyến xe không chở dưới 15 người, nên x có thể là 15 hoặc 20. - Nếu mỗi chuyến xe chở 15 người: $$ - Nếu mỗi chuyến xe chở 20 người: $$ Bước 3: Tính tổng số tiền cần trả - Nếu mỗi chuyến xe chở 15 người: $$ - Nếu mỗi chuyến xe chở 20 người: $$ So sánh hai trường hợp trên, ta thấy rằng nếu mỗi chuyến xe chở 15 người thì tổng số tiền cần trả ít hơn. Vậy, với thỏa thuận như trên thì cần trả ít nhất là 5418,75 nghìn đồng để cả đoàn được đưa về khách sạn bằng xe du lịch. Đáp số: 5418,75 nghìn đồng.