giải các bài tập

Câu 2. Diện tích hình chữ nhật ABCD là: $$ Diện tích nửa đường tròn đường kính MN là: $$ Diện tích mỗi phần của các đường parabol là: $$ Vì có hai phần parabol nên diện tích tổng cộng của hai phần parabol là: $$ Diện tích logo là: $$ Diện tích phần còn lại của bảng gỗ là: $$ Chi phí để sơn màu xanh phần logo là: $$ Chi phí để sơn màu trắng phần còn lại là: $$ Tổng chi phí là: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Lấy giá trị $$, ta có: $$ Vậy tổng chi phí là: $$ Đổi ra nghìn đồng: $$ Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là: $$ Đáp số: 1963 nghìn đồng. Câu 3. Số viên bi màu xanh được đánh số là: 30 : 100 x 70 = 21 (viên) Số viên bi màu đỏ được đánh số là: 20 : 100 x 60 = 12 (viên) Tổng số viên bi được đánh số là: 21 + 12 = 33 (viên) Xác suất để viên bi lấy ra được đánh số và có màu xanh là: 21 : 33 = 0,64 (đk: 0,01) Đáp số: 0,64 Câu 4. Để tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (OCCD), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm: - Điểm O có tọa độ (0, 0, 0). - Điểm A có tọa độ (100, 0, 0). - Điểm C có tọa độ (0, 60, 0). - Điểm D có tọa độ (10, 10, 8). - Điểm B có tọa độ (100, 60, 0). 2. Xác định phương trình mặt phẳng (OCCD): - Mặt phẳng (OCCD) đi qua điểm O(0, 0, 0) và có hai vectơ pháp tuyến là $$ và $$. - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OCCD) là $$. Ta tính: $$ - Phương trình mặt phẳng (OCCD) có dạng: $$ 3. Tìm khoảng cách từ điểm B(100, 60, 0) đến mặt phẳng (OCCD): - Công thức khoảng cách từ một điểm $$ đến mặt phẳng $$ là: $$ - Thay vào công thức: $$ Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (OCCD) là khoảng 63.2 mét. Đáp số: 63.2 mét. Câu 5. Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng G cm. - Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. - Số đo của góc nhị diện $$ bằng $$. Ta cần tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Bước 1: Xác định chiều cao của khối chóp Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD, nên SA chính là chiều cao của khối chóp S.ABCD. Bước 2: Xác định góc giữa hai mặt phẳng Góc nhị diện $$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Ta cần tìm chiều cao từ điểm S hạ vuông góc xuống đáy ABCD để xác định chiều cao của khối chóp. Bước 3: Xác định chiều cao SA Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vì SA vuông góc với đáy, nên SO cũng vuông góc với đáy. Ta có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng SB và SD khi chiếu lên mặt phẳng (SCD). Do đó, góc giữa SB và SD là $$. Ta có: $$ Vì ABCD là hình vuông, nên $$. Bước 4: Tính chiều cao SA Trong tam giác vuông SOA, ta có: $$ $$ (vì O là tâm của hình vuông) Do đó: $$ Bước 5: Tính thể tích của khối chóp Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính bằng công thức: $$ Diện tích đáy ABCD là: $$ Chiều cao SA là G. Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là: $$ Đáp số: $$ Câu 6. Gọi số lượng tivi loại 50 inch là $$ (chiếc), số lượng tivi loại 55 inch là $$ (chiếc). Theo đề bài, ta có các ràng buộc sau: 1. Số vốn ban đầu không vượt quá 1,8 tỉ đồng: $$ 2. Tổng nhu cầu tiêu thụ của thị trường không vượt quá 100 chiếc tivi: $$ 3. Số lượng tivi không thể âm: $$ $$ Lợi nhuận dự kiến của cửa hàng là: $$ Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của $$ trong vùng xác định bởi các ràng buộc trên. Để tìm giá trị lớn nhất của $$, ta sẽ vẽ các đường thẳng đại diện cho các ràng buộc và tìm điểm cực đại trong vùng xác định. 1. Vẽ đường thẳng $$: - Khi $$: $$ - Khi $$: $$ 2. Vẽ đường thẳng $$: - Khi $$: $$ - Khi $$: $$ 3. Vẽ các đường thẳng $$ và $$. Giao điểm của các đường thẳng này tạo thành các đỉnh của vùng xác định. Ta sẽ kiểm tra giá trị của $$ tại các đỉnh này: - Điểm $$: $$ - Điểm $$: $$ - Điểm $$: $$ - Điểm $$: $$ - Điểm $$: $$ - Điểm $$: $$ - Điểm $$: $$ - Điểm $$: $$ Từ các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của $$ là 300 triệu đồng, đạt được khi $$ và $$. Vậy lợi nhuận lớn nhất mà cửa hàng có thể thu được là 300 triệu đồng. Câu 1. Muốn tìm nguyên hàm của $$, ta áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số $$ và tính chất tuyến tính của nguyên hàm. Bước 1: Xác định nguyên hàm của $$. Nguyên hàm của $$ là $$. Bước 2: Áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm. $$. Vậy nguyên hàm của $$ là $$. Đáp án đúng là: B. $$. Câu 2. Để tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $$, $$, $$, và $$, ta cần tính tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số $$ từ $$ đến $$. Lý do là vì diện tích luôn là một đại lượng dương, và nếu hàm số $$ có các đoạn âm và dương trong khoảng từ $$ đến $$, thì tích phân của $$ sẽ đảm bảo rằng tất cả các phần diện tích đều được tính đúng. Do đó, đáp án đúng là: A. $$ Đáp án: A. $$ Câu 3. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai của mẫu số liệu. 3. Tính độ lệch chuẩn từ phương sai. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Trung bình cộng $$ được tính theo công thức: $$ Trong đó: - $$ là tần số của nhóm thứ i. - $$ là giá trị trung tâm của nhóm thứ i. Ta tính giá trị trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm [1; 4,5): $$ - Nhóm [4,5; 8): $$ - Nhóm [8; 11,5): $$ - Nhóm [11,5; 15): $$ - Nhóm [15; 18,5): $$ - Nhóm [18,5; 22): $$ Tính tổng số người dự thi: $$ Tính trung bình cộng: $$ $$ $$ Bước 2: Tính phương sai của mẫu số liệu Phương sai $$ được tính theo công thức: $$ Tính $$ cho mỗi nhóm: - Nhóm [1; 4,5): $$ - Nhóm [4,5; 8): $$ - Nhóm [8; 11,5): $$ - Nhóm [11,5; 15): $$ - Nhóm [15; 18,5): $$ - Nhóm [18,5; 22): $$ Tính phương sai: $$ $$ $$ Bước 3: Tính độ lệch chuẩn từ phương sai Độ lệch chuẩn $$ được tính theo công thức: $$ $$ Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng 5,2. Do đó, đáp án đúng là: C. 5,22 Câu 4. Để viết phương trình đường thẳng $$ đi qua điểm $$ và nhận vectơ $$ làm véctơ chi phương, ta sử dụng công thức chung của phương trình đường thẳng trong không gian: Phương trình đường thẳng $$ đi qua điểm $$ và có véctơ chi phương $$ là: $$ Áp dụng vào bài toán này, ta có: - Điểm $$, tức là $$ - Vectơ chi phương $$, tức là $$ Thay vào công thức trên, ta được: $$ Do đó, phương trình đường thẳng $$ là: $$ Vậy đáp án đúng là: B. $$. Câu 5. Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình này không chứa phân thức, căn thức hoặc logarit nên không cần xác định ĐKXĐ. Bước 2: Chuyển $$ về dạng lũy thừa cơ sở 6: $$ Bước 3: Viết lại phương trình: $$ Bước 4: So sánh các lũy thừa có cùng cơ sở: $$ Bước 5: Giải phương trình để tìm giá trị của $$: $$ Vậy nghiệm của phương trình là $$. Đáp án đúng là: C. $$. Câu 6. Để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số $$ có nghĩa là $$. Giải phương trình $$: $$ Vậy ĐKXĐ là $$. 2. Xác định đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng của hàm số $$ là đường thẳng $$, vì khi $$ tiến đến $$, mẫu số $$ tiến đến 0, làm cho giá trị của hàm số tiến đến vô cùng. Vậy đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $$ là $$. Đáp án đúng là: B. $$. Câu 7. Để giải bất phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $$, ta cần đảm bảo rằng $$. - Điều này dẫn đến $$. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $$. - Đổi về dạng mũ: $$. - Tính $$, nên ta có $$. - Giải phương trình này: $$. - Kết quả là $$. 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta đã xác định $$ ở bước đầu tiên. - Kết quả $$ đã bao gồm điều kiện $$, vì $$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $$. Đáp án đúng là: B. $$. Câu 8. Phương trình của mặt phẳng (R) là $$. Từ phương trình này, ta có thể thấy rằng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R) là $$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng vectơ để xem liệu chúng có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R) hay không. A. $$ Ta thấy rằng $$ không phải là bội của $$ vì không có số thực nào nhân với $$ cho ta $$. Do đó, $$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R). B. $$ Ta thấy rằng $$ không phải là bội của $$ vì không có số thực nào nhân với $$ cho ta $$. Do đó, $$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R). C. $$ Ta thấy rằng $$ không phải là bội của $$ vì không có số thực nào nhân với $$ cho ta $$. Do đó, $$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R). D. $$ Ta thấy rằng $$ không phải là bội của $$ vì không có số thực nào nhân với $$ cho ta $$. Do đó, $$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R). Như vậy, không có vectơ nào trong các vectơ đã cho là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R). Đáp án: Không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Câu 9. Để tìm số hạng đầu $$ của cấp số cộng, ta cần biết công sai $$ và số hạng thứ 10 và 15 của cấp số. Công thức của số hạng thứ $$ trong cấp số cộng là: $$ Áp dụng công thức này cho $$ và $$: $$ $$ Ta có hệ phương trình: $$ $$ Trừ phương trình (1) từ phương trình (2): $$ $$ $$ Thay $$ vào phương trình (1): $$ $$ $$ $$ Vậy số hạng đầu $$ là 8. Đáp án đúng là: D. $$.