Những câu trên hình

Câu 1. Để xác định khẳng định đúng, chúng ta sẽ kiểm tra từng tính chất của các hàm lượng giác liên quan đến tính chẵn lẻ của chúng. 1. Tính chẵn lẻ của sin(x): - Hàm sin(x) là hàm lẻ, nghĩa là $\sin(-x) = -\sin(x)$. - Do đó, khẳng định A là đúng. 2. Tính chẵn lẻ của cos(x): - Hàm cos(x) là hàm chẵn, nghĩa là $\cos(-x) = \cos(x)$. - Do đó, khẳng định B là sai. 3. Tính chẵn lẻ của cot(x): - Hàm cot(x) là hàm lẻ, nghĩa là $\cot(-x) = -\cot(x)$. - Do đó, khẳng định C là sai. 4. Tính chẵn lẻ của tan(x): - Hàm tan(x) là hàm lẻ, nghĩa là $\tan(-x) = -\tan(x)$. - Do đó, khẳng định D là sai. Vậy khẳng định đúng là: A. $\sin(-x) = -\sin(x)$. Câu 2. Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một để xác định đẳng thức nào đúng. A. $\sin(180^\circ - a) = -\cos a$ Theo công thức biến đổi góc phụ, ta có: \[ \sin(180^\circ - a) = \sin a \] Do đó, đẳng thức này sai vì $\sin a \neq -\cos a$. B. $\sin(180^\circ - a) = -\sin a$ Theo công thức biến đổi góc phụ, ta có: \[ \sin(180^\circ - a) = \sin a \] Do đó, đẳng thức này sai vì $\sin a \neq -\sin a$. C. $\sin(180^\circ - a) = \sin a$ Theo công thức biến đổi góc phụ, ta có: \[ \sin(180^\circ - a) = \sin a \] Do đó, đẳng thức này đúng. D. $\sin(180^\circ - a) = \cos a$ Theo công thức biến đổi góc phụ, ta có: \[ \sin(180^\circ - a) = \sin a \] Do đó, đẳng thức này sai vì $\sin a \neq \cos a$. Vậy, đẳng thức đúng là: \[ \boxed{\text{C. } \sin(180^\circ - a) = \sin a} \] Câu 3 Để tìm giá trị của $\cos \alpha$, ta sử dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Biết rằng $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, ta thay vào công thức trên: \[ \left( \frac{3}{5} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \] Do đó: \[ \cos \alpha = \pm \frac{4}{5} \] Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, góc $\alpha$ nằm trong khoảng từ $\frac{\pi}{2}$ đến $\pi$, tức là ở phần thứ hai của vòng tròn đơn vị, nơi mà $\cos \alpha$ là âm. Do đó: \[ \cos \alpha = -\frac{4}{5} \] Vậy đáp án đúng là: B. $-\frac{4}{5}$. Câu 4 Để tính $\tan(\alpha - \frac{\pi}{4})$, ta sử dụng công thức góc tổng: \[ \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} \] Trong đó, $A = \alpha$ và $B = \frac{\pi}{4}$. Biết rằng $\tan \frac{\pi}{4} = 1$, ta thay vào công thức trên: \[ \tan(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan \alpha - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi}{4}} \] Thay $\tan \alpha = 2$ và $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ vào: \[ \tan(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{2 - 1}{1 + 2 \cdot 1} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{1}{3}$. Câu 5 Chu kỳ tuần hoàn của hàm số \( y = \tan x \) là khoảng cách giữa hai giá trị liên tiếp của \( x \) sao cho giá trị của hàm số không thay đổi. Hàm số \( y = \tan x \) có tính chất tuần hoàn với chu kỳ \( \pi \). Điều này có nghĩa là: \[ \tan(x + \pi) = \tan x \] Do đó, chu kỳ tuần hoàn của hàm số \( y = \tan x \) là \( \pi \). Vậy đáp án đúng là: B. \( \pi \) Đáp số: B. \( \pi \) Câu 6. Chu kỳ tuần hoàn của hàm số \( y = \sin x \) là khoảng cách giữa hai giá trị liên tiếp của \( x \) sao cho giá trị của hàm số không thay đổi. Hàm số \( y = \sin x \) có tính chất tuần hoàn với chu kỳ \( 2\pi \). Điều này có nghĩa là: \[ \sin(x + 2\pi) = \sin x \] Do đó, chu kỳ tuần hoàn của hàm số \( y = \sin x \) là \( 2\pi \). Vậy đáp án đúng là: C. \( 2\pi \) Đáp số: C. \( 2\pi \) Câu 7. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{1 - \cos x}{\sin x - 1} \), ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng không. Bước 1: Xác định điều kiện để mẫu số không bằng không: \[ \sin x - 1 \neq 0 \] \[ \sin x \neq 1 \] Bước 2: Tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( \sin x = 1 \): \[ \sin x = 1 \] Các giá trị của \( x \) thỏa mãn điều này là: \[ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Bước 3: Kết luận tập xác định của hàm số: Hàm số \( y = \frac{1 - \cos x}{\sin x - 1} \) sẽ không xác định tại các điểm \( x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \] Vậy đáp án đúng là: D. \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi \right\} \) Câu 8. Để tìm công thức nghiệm của phương trình $\sin x = \sin \alpha$, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hàm sin. Phương trình $\sin x = \sin \alpha$ có hai trường hợp: 1. $x = \alpha + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. 2. $x = \pi - \alpha + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Như vậy, công thức nghiệm của phương trình $\sin x = \sin \alpha$ là: \[ \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right., \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Do đó, đáp án đúng là: A. $\left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right., \quad (k \in \mathbb{Z})$ Đáp án: A. Câu 9. Để xác định điều kiện xác định của hàm số \( y = \frac{2\sin x + 1}{1 - \cos x} \), ta cần đảm bảo rằng mẫu số \( 1 - \cos x \) không bằng 0. Bước 1: Xác định điều kiện mẫu số không bằng 0: \[ 1 - \cos x \neq 0 \] \[ \cos x \neq 1 \] Bước 2: Tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( \cos x = 1 \): \[ \cos x = 1 \] \[ x = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Do đó, hàm số \( y = \frac{2\sin x + 1}{1 - \cos x} \) xác định khi \( x \neq 2k\pi \). Vậy đáp án đúng là: D. \( x \neq k2\pi \). Câu 10. Phương trình $\tan x = \tan \varphi$ có nghiệm là: \[ x = \varphi + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Lý do: - Hàm số $\tan x$ có chu kỳ là $\pi$, nghĩa là $\tan(x + \pi) = \tan x$. - Do đó, nếu $\tan x = \tan \varphi$, thì $x$ có thể là $\varphi$ cộng thêm bao nhiêu lần chu kỳ $\pi$ cũng được. Vậy đáp án đúng là: C. $x = \varphi + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$ Câu 11. Để xác định dãy số nào là dãy số giảm, chúng ta cần kiểm tra xem mỗi số hạng trong dãy có nhỏ hơn số hạng đứng liền trước nó hay không. A. $1; 1; 1; 1; 1; 1; 1.$ - Các số hạng đều bằng nhau, do đó đây không phải là dãy số giảm. B. $1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; -\frac{1}{8}; \frac{1}{16}.$ - Số hạng thứ hai là $-\frac{1}{2}$, nhỏ hơn số hạng thứ nhất là $1$. - Số hạng thứ ba là $\frac{1}{4}$, lớn hơn số hạng thứ hai là $-\frac{1}{2}$. - Số hạng thứ tư là $-\frac{1}{8}$, nhỏ hơn số hạng thứ ba là $\frac{1}{4}$. - Số hạng thứ năm là $\frac{1}{16}$, lớn hơn số hạng thứ tư là $-\frac{1}{8}$. - Do đó, dãy này không phải là dãy số giảm vì không liên tục giảm từ số hạng này sang số hạng tiếp theo. C. $1; 3; 5; 7; 9.$ - Mỗi số hạng đều lớn hơn số hạng đứng liền trước nó, do đó đây không phải là dãy số giảm. D. $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}.$ - Số hạng thứ hai là $\frac{1}{2}$, nhỏ hơn số hạng thứ nhất là $1$. - Số hạng thứ ba là $\frac{1}{4}$, nhỏ hơn số hạng thứ hai là $\frac{1}{2}$. - Số hạng thứ tư là $\frac{1}{8}$, nhỏ hơn số hạng thứ ba là $\frac{1}{4}$. - Số hạng thứ năm là $\frac{1}{16}$, nhỏ hơn số hạng thứ tư là $\frac{1}{8}$. - Do đó, dãy này là dãy số giảm vì mỗi số hạng đều nhỏ hơn số hạng đứng liền trước nó. Vậy dãy số giảm là: D. $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}.$ Câu 12. Để xác định dãy số nào là dãy số tăng, ta cần kiểm tra xem mỗi số hạng tiếp theo trong dãy có lớn hơn số hạng trước đó hay không. A. $1; 1; 1; 1; 1; 1; 1.$ - Mỗi số hạng đều bằng nhau, do đó đây không phải là dãy số tăng. B. $1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; -\frac{1}{8}; \frac{1}{16}.$ - Số hạng thứ hai ($-\frac{1}{2}$) nhỏ hơn số hạng đầu tiên (1), do đó đây không phải là dãy số tăng. C. $1; 3; 5; 7; 9.$ - Ta thấy: - $3 > 1$ - $5 > 3$ - $7 > 5$ - $9 > 7$ Do đó, đây là dãy số tăng. D. $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}.$ - Ta thấy: - $\frac{1}{2} < 1$ - $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ - $\frac{1}{8} < \frac{1}{4}$ - $\frac{1}{16} < \frac{1}{8}$ Do đó, đây không phải là dãy số tăng. Kết luận: Dãy số tăng là dãy số C. $1; 3; 5; 7; 9.$ Câu 13. Để tìm số hạng \( u_{n+1} \) của dãy số \( u_n = 3^n \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định công thức của số hạng \( u_{n+1} \): - Theo công thức của dãy số, \( u_n = 3^n \). - Do đó, số hạng tiếp theo trong dãy sẽ là \( u_{n+1} \). 2. Thay \( n+1 \) vào công thức: - Ta thay \( n+1 \) vào công thức của \( u_n \): \[ u_{n+1} = 3^{n+1} \] 3. Áp dụng quy tắc lũy thừa: - Ta biết rằng \( 3^{n+1} \) có thể viết lại dưới dạng \( 3^n \times 3 \): \[ 3^{n+1} = 3^n \times 3 \] 4. So sánh với các đáp án: - Đáp án A: \( 3^n \times 3 \) - Đáp án B: \( 3^n + 3 \) - Đáp án C: \( 3^n + 1 \) - Đáp án D: \( 3(n+1) \) Như vậy, số hạng \( u_{n+1} \) đúng là \( 3^n \times 3 \). Đáp án đúng là: A. \( 3^n \times 3 \) Câu 14. Để tìm số hạng \( u_{n+1} \) của dãy số \( (u_n) \) với \( u_n = 3^n \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định công thức của số hạng \( u_{n+1} \). Theo công thức của dãy số, ta có: \[ u_n = 3^n \] Do đó, số hạng tiếp theo trong dãy sẽ là: \[ u_{n+1} = 3^{n+1} \] Bước 2: So sánh với các đáp án đã cho. A. \( 3^n \cdot 3 \) B. \( 3^n + 3 \) C. \( 3^n + 1 \) D. \( 3(n+1) \) Ta thấy rằng: \[ 3^{n+1} = 3^n \cdot 3 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( 3^n \cdot 3 \) Đáp án: A. \( 3^n \cdot 3 \)