Câu 14 (2,0 điểm): Cho ∆ABC vuông tại A (có AB < AC), đường cao AH. Gọi M là trung điểm của BC, kẻ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E. 1) Chứng minh rằng: AM = DE. 2) Chứng minh tứ gi...

Câu 14 1) Chứng minh rằng: AM = DE. - Ta có M là trung điểm của BC, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. - Trong tam giác vuông ABC, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC bằng nửa cạnh huyền, tức là \(AM = \frac{BC}{2}\). - Xét tam giác ADE, ta thấy: - \(AD\) vuông góc với \(AB\) tại \(D\), - \(AE\) vuông góc với \(AC\) tại \(E\), - Do đó, \(DE\) là đường cao hạ từ đỉnh \(A\) của tam giác vuông \(ADE\). - Trong tam giác vuông \(ADE\), đường cao hạ từ đỉnh vuông góc với cạnh huyền cũng bằng nửa cạnh huyền, tức là \(DE = \frac{BC}{2}\). - Vậy ta có \(AM = DE\). 2) Chứng minh tứ giác DMCE là hình bình hành và tứ giác DHME là hình thang cân. - Ta đã biết \(M\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(BM = MC\). - Xét tam giác \(BMD\) và tam giác \(CME\): - \(BD\) vuông góc với \(AB\) tại \(D\), - \(CE\) vuông góc với \(AC\) tại \(E\), - \(BM = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\)). - Do đó, tam giác \(BMD\) và tam giác \(CME\) là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền \(BM = MC\) và có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau (\(BD = CE\)), nên hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp "cạnh huyền - cạnh góc vuông". - Từ đó ta có \(MD = ME\) và \(DM \parallel CE\) (vì \(D\) và \(E\) đều nằm trên các đường thẳng vuông góc với \(AB\) và \(AC\) tương ứng). - Vậy tứ giác \(DMCE\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên là hình bình hành. - Xét tứ giác \(DHME\): - \(DH\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\), - \(ME\) vuông góc với \(AC\) tại \(E\), - \(DM = ME\) (chứng minh ở trên). - Do đó, \(DHME\) là hình thang có hai đáy \(DH\) và \(ME\) vuông góc với \(AB\) và \(AC\) tương ứng, và hai cạnh bên \(DM\) và \(HE\) bằng nhau, nên là hình thang cân. Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu của đề bài.