Giúp mình với!

Bài 17. a) Ta có tam giác ABC có $AB=15~cm,~AC=20~cm,~BC=25~cm.$ Ta thấy: $AB^{2}+AC^{2}=15^{2}+20^{2}=225+400=625=25^{2}=BC^{2}$ Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$ Tổng số phần bằng nhau là: $3+4=7$ (phần) Độ dài đoạn thẳng DB là: $25:7\times 3=\frac{75}{7}~(cm)$ Độ dài đoạn thẳng DC là: $25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7}~(cm)$ b) Tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD là: $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}\times AD\times DB}{\frac{1}{2}\times AD\times DC}=\frac{DB}{DC}=\frac{3}{4}$ Đáp số: a) $DB=\frac{75}{7}~cm,~DC=\frac{100}{7}~cm$ b) $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{3}{4}$ Bài 18. a) Ta có E và G lần lượt là trung điểm của AB và AC nên theo định lý đường trung bình của tam giác, ta có: \[ EG // BC \quad \text{và} \quad EG = \frac{1}{2} BC \] Tương tự, G và H lần lượt là trung điểm của AC và BC nên theo định lý đường trung bình của tam giác, ta có: \[ GH // AB \quad \text{và} \quad GH = \frac{1}{2} AB \] b) Ta sẽ chứng minh \( EH < \frac{1}{2}(AD + CD) \). Trước tiên, ta xét tam giác ABD và tam giác CBD. G và H là trung điểm của AC và BC, do đó theo định lý đường trung bình của tam giác, ta có: \[ GH = \frac{1}{2} AB \] Bây giờ, ta xét tam giác EGH. Vì E là trung điểm của AB và G là trung điểm của AC, nên ta có: \[ EG = \frac{1}{2} BC \] Do đó, ta có: \[ EH < EG + GH \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ EH < \frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} AB \] Ta thấy rằng: \[ \frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2}(BC + AB) \] Vì \( AD + CD > BC + AB \) (do tính chất tam giác), nên ta có: \[ \frac{1}{2}(AD + CD) > \frac{1}{2}(BC + AB) \] Do đó: \[ EH < \frac{1}{2}(AD + CD) \] Vậy ta đã chứng minh được \( EH < \frac{1}{2}(AD + CD) \). Đáp số: a) \( EG // BC \) và \( GH // AB \) b) \( EH < \frac{1}{2}(AD + CD) \) Bài 19. a) Ta có M là trung điểm của AH và N là trung điểm của DH. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ADH. Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có: \[ MN // AD \] b) Ta cần chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng các cặp cạnh đối song song với nhau. - Ta đã biết \( MN // AD \). - Tiếp theo, ta cần chứng minh \( BI // MN \). Ta có I là trung điểm của BC và D là đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Do đó, ta có: \[ BI = \frac{BC}{2} \] Mặt khác, ta cũng có: \[ AD = BC \] Do đó: \[ BI = \frac{AD}{2} \] Vì \( MN // AD \) và \( BI = \frac{AD}{2} \), ta có: \[ BI // MN \] Bây giờ, ta cần chứng minh \( BN // MI \). Ta có N là trung điểm của DH và M là trung điểm của AH. Do đó, ta có: \[ BN = \frac{BD}{2} \] Và ta cũng có: \[ MI = \frac{AH}{2} \] Vì \( AH = BD \) (do tính chất của hình chữ nhật), ta có: \[ BN = MI \] Vậy ta đã chứng minh được \( BN // MI \) và \( BI // MN \). Do đó, tứ giác BMNI là hình bình hành. Đáp số: Tứ giác BMNI là hình bình hành. Bài 20. a) Ta có $\Delta ABC$ cân tại A, D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Do đó, DE là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra $DE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ cm. b) Ta cần chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh DE song song với BC và BD = CE. - Vì D và E là trung điểm của AB và AC, nên DE là đường trung bình của $\Delta ABC$. Do đó, DE song song với BC. - Ta cũng có BD = CE vì D và E là trung điểm của AB và AC, và AB = AC (do $\Delta ABC$ cân tại A). Vậy tứ giác BDEC là hình thang cân. c) Ta cần chứng minh tứ giác DHKF là hình chữ nhật và từ đó chứng minh $BF.FH = AD.FK$. - Ta có K là trung điểm của BC, F là trung điểm của BK, và H là giao điểm của AK và DE. - Ta đã biết DE song song với BC, do đó AK cắt DE tại H và tạo nên các góc vuông tại H (vì AK là đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác cân xuống đáy BC). - Ta cũng có DK = KE vì K là trung điểm của BC và D, E là trung điểm của AB, AC. - Ta có FK = KD vì F là trung điểm của BK và K là trung điểm của BC. Do đó, tứ giác DHKF có các góc vuông tại H và các cạnh đối xứng, suy ra tứ giác DHKF là hình chữ nhật. Bây giờ, ta chứng minh $BF.FH = AD.FK$. - Ta có $BF = \frac{1}{2}BK$ và $FH = \frac{1}{2}DK$. - Ta cũng có $AD = \frac{1}{2}AB$ và $FK = \frac{1}{2}KD$. Do đó, ta có: \[ BF.FH = \left( \frac{1}{2}BK \right) \left( \frac{1}{2}DK \right) = \frac{1}{4}BK.DK \] \[ AD.FK = \left( \frac{1}{2}AB \right) \left( \frac{1}{2}KD \right) = \frac{1}{4}AB.KD \] Vì BK = AB (do K là trung điểm của BC và AB = AC), nên ta có: \[ BF.FH = AD.FK \] Vậy ta đã chứng minh được $BF.FH = AD.FK$.