Cho có E là trung điểm của Ac. Qua E kẻ ED // AB; (D ∈ BC); EF // BC (F ∈ AB) a) Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC. b) Gọi H là điểm đối xứng của D...

a) Ta có: \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(ED \parallel AB\). Do đó, theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có \(D\) là trung điểm của \(BC\). Tương tự, \(EF \parallel BC\) và \(E\) là trung điểm của \(AC\), nên \(F\) là trung điểm của \(AB\). Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\) và \(F\) là trung điểm của \(AB\), ta có \(DF \parallel AB\) và \(DF = \frac{1}{2}AB\). Do đó, tứ giác \(BDEF\) có hai cặp cạnh song song và bằng nhau, tức là \(DE \parallel BF\) và \(DE = BF\), \(DF \parallel BE\) và \(DF = BE\). Vậy \(BDEF\) là hình bình hành. b) Vì \(H\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(F\), nên \(HF = FD\) và \(HF \parallel FD\). Do đó, \(H\) nằm trên đường thẳng qua \(F\) và song song với \(AD\). Ta có \(AD \parallel HF\) và \(AD = HF\), do đó \(HB \parallel AD\). c) Ta có \(I\) là trung điểm của \(HB\), tức là \(HI = IB\). Vì \(H\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(F\), nên \(HF = FD\) và \(HF \parallel FD\). Vì \(K\) là giao điểm của \(AD\) và \(EF\), ta có \(K\) nằm trên đường thẳng \(EF\). Vì \(EF \parallel BC\) và \(E\) là trung điểm của \(AC\), nên \(K\) cũng là trung điểm của \(AD\). Do đó, \(I\), \(K\), và \(E\) thẳng hàng vì chúng đều là trung điểm của các đoạn thẳng tương ứng và nằm trên cùng một đường thẳng. Đáp số: \(I\), \(K\), và \(E\) thẳng hàng.