Tìm số tự nhiên x,y thỏa mãn: 2x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy - 2x - 4y + 1 <= 0 Giải hộ mình câu này với các bạn

juztlikethat Bước 1: Sắp xếp lại biểu thức

Ta có:

2x2+y2+2xy−2x−4y+1≤02x^2 + y^2 + 2xy - 2x - 4y + 1 \leq 02x2+y2+2xy−2x−4y+1≤0

Nhóm các hạng tử liên quan đến xxx và yyy:

2x2+2xy+y2−2x−4y+1≤02x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 4y + 1 \leq 02x2+2xy+y2−2x−4y+1≤0

Sắp xếp lại theo xxx:

2x2+(2y−2)x+(y2−4y+1)≤02x^2 + (2y - 2)x + (y^2 - 4y + 1) \leq 02x2+(2y−2)x+(y2−4y+1)≤0

Bước 2: Phân tích thành dạng chuẩn của bất phương trình bậc hai

Đặt biểu thức là hàm bậc hai theo xxx:

f(x)=2x2+(2y−2)x+(y2−4y+1)f(x) = 2x^2 + (2y - 2)x + (y^2 - 4y + 1)f(x)=2x2+(2y−2)x+(y2−4y+1)

Để f(x)≤0f(x) \leq 0f(x)≤0, phương trình bậc hai này phải có nghiệm thực và xxx thuộc đoạn giữa hai nghiệm (nếu có).

Điều kiện để có nghiệm là:

Δ≥0\Delta \geq 0Δ≥0

Trong đó, Δ\DeltaΔ là discriminant:

Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4ACΔ=B2−4AC

Với A=2A = 2A=2, B=2y−2B = 2y - 2B=2y−2, C=y2−4y+1C = y^2 - 4y + 1C=y2−4y+1, ta tính:

Δ=(2y−2)2−4⋅2⋅(y2−4y+1)\Delta = (2y - 2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (y^2 - 4y + 1)Δ=(2y−2)2−4⋅2⋅(y2−4y+1)Δ=4(y−1)2−8(y2−4y+1)\Delta = 4(y - 1)^2 - 8(y^2 - 4y + 1)Δ=4(y−1)2−8(y2−4y+1)Δ=4(y2−2y+1)−8y2+32y−8\Delta = 4(y^2 - 2y + 1) - 8y^2 + 32y - 8Δ=4(y2−2y+1)−8y2+32y−8Δ=4y2−8y+4−8y2+32y−8\Delta = 4y^2 - 8y + 4 - 8y^2 + 32y - 8Δ=4y2−8y+4−8y2+32y−8Δ=−4y2+24y−4\Delta = -4y^2 + 24y - 4Δ=−4y2+24y−4

Bước 3: Điều kiện Δ≥0\Delta \geq 0Δ≥0

−4y2+24y−4≥0-4y^2 + 24y - 4 \geq 0−4y2+24y−4≥0

Chia cả hai vế cho −4-4−4 (đổi chiều bất phương trình):

y2−6y+1≤0y^2 - 6y + 1 \leq 0y2−6y+1≤0

Giải phương trình bậc hai:

y=−b±b2−4ac2ay = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}y=2a−b±b2−4ac

​​

Với a=1a = 1a=1, b=−6b = -6b=−6, c=1c = 1c=1:

y=−(−6)±(−6)2−4⋅1⋅12⋅1y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}y=2⋅1−(−6)±(−6)2−4⋅1⋅1

​​y=6±36−42y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2}y=26±36−4

​​y=6±322y = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2}y=26±32

​​y=6±422y = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2}y=26±42

​​y=3±22y = 3 \pm 2\sqrt{2}y=3±22

​

Bước 4: Giá trị nguyên của yyy

Với y=3−22y = 3 - 2\sqrt{2}y=3−22

​ và y=3+22y = 3 + 2\sqrt{2}y=3+22

​, ta lấy giá trị nguyên gần nhất để kiểm tra xxx (tiếp tục tinh chỉnh).