Giúp e với ạ Câu 9: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb R$ và có đạo hàm $f^\prime(x)=(1-x)^2(x+1)^3(3-x).$ Hàm số,$y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?,$A.~(-\infty;1).$ $B.~(-\infty;-1).$ $C.~(1;3).$ $D.~(3;+\infty).$

Question

Accepted Answer

Câu 9: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $ y = f(x) $, ta cần tìm các khoảng mà đạo hàm $ f'(x) > 0 $. Bước 1: Xác định các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định: $$ f'(x) = (1 - x)^2 (x + 1)^3 (3 - x) $$ Các điểm mà đạo hàm bằng 0 là: $$ (1 - x)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 $$ $$ (x + 1)^3 = 0 \Rightarrow x = -1 $$ $$ (3 - x) = 0 \Rightarrow x = 3 $$ Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm $ f'(x) $ trên các khoảng giữa các điểm đã tìm: - Khi $ x < -1 $: $$ (1 - x)^2 > 0, \quad (x + 1)^3 < 0, \quad (3 - x) > 0 $$ $$ f'(x) = (1 - x)^2 (x + 1)^3 (3 - x) < 0 $$ - Khi $ -1 < x < 1 $: $$ (1 - x)^2 > 0, \quad (x + 1)^3 > 0, \quad (3 - x) > 0 $$ $$ f'(x) = (1 - x)^2 (x + 1)^3 (3 - x) > 0 $$ - Khi $ 1 < x < 3 $: $$ (1 - x)^2 > 0, \quad (x + 1)^3 > 0, \quad (3 - x) > 0 $$ $$ f'(x) = (1 - x)^2 (x + 1)^3 (3 - x) > 0 $$ - Khi $ x > 3 $: $$ (1 - x)^2 > 0, \quad (x + 1)^3 > 0, \quad (3 - x) < 0 $$ $$ f'(x) = (1 - x)^2 (x + 1)^3 (3 - x) < 0 $$ Bước 3: Kết luận khoảng đồng biến: Hàm số $ y = f(x) $ đồng biến trên các khoảng mà $ f'(x) > 0 $. Từ các kết quả ở trên, ta thấy rằng $ f'(x) > 0 $ trên các khoảng $ (-1, 1) $ và $ (1, 3) $. Tuy nhiên, trong các đáp án được đưa ra, chỉ có khoảng $ (1, 3) $ là đúng. Vậy đáp án đúng là: C. $ (1; 3) $.