viết định lý cô sin

Định lý cô sin là một trong những định lý quan trọng trong hình học phẳng, đặc biệt là trong tam giác. Định lý này liên hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác. Cụ thể, định lý cô sin cho biết: Trong tam giác ABC, nếu a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các góc A, B, C thì ta có: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \] \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \] Bây giờ, chúng ta sẽ lập luận từng bước để chứng minh định lý cô sin. Bước 1: Xét tam giác ABC với các cạnh a, b, c và các góc A, B, C. Bước 2: Dựng đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC, giao tại điểm D. - Ta có hai tam giác vuông ABD và ACD. Bước 3: Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABD và ACD. - Trong tam giác ABD: \[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \] \[ c^2 = h^2 + BD^2 \] - Trong tam giác ACD: \[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \] \[ b^2 = h^2 + CD^2 \] Bước 4: Biểu diễn BD và CD theo các cạnh và góc của tam giác ABC. - Ta có: \[ BD = c \cos B \] \[ CD = b \cos C \] Bước 5: Thay BD và CD vào các phương trình Pythagoras. - Từ phương trình \( c^2 = h^2 + BD^2 \): \[ c^2 = h^2 + (c \cos B)^2 \] \[ c^2 = h^2 + c^2 \cos^2 B \] - Từ phương trình \( b^2 = h^2 + CD^2 \): \[ b^2 = h^2 + (b \cos C)^2 \] \[ b^2 = h^2 + b^2 \cos^2 C \] Bước 6: Biểu diễn \( h^2 \) từ cả hai phương trình. - Từ phương trình \( c^2 = h^2 + c^2 \cos^2 B \): \[ h^2 = c^2 - c^2 \cos^2 B \] \[ h^2 = c^2 (1 - \cos^2 B) \] \[ h^2 = c^2 \sin^2 B \] - Từ phương trình \( b^2 = h^2 + b^2 \cos^2 C \): \[ h^2 = b^2 - b^2 \cos^2 C \] \[ h^2 = b^2 (1 - \cos^2 C) \] \[ h^2 = b^2 \sin^2 C \] Bước 7: Kết hợp các phương trình để tìm biểu thức cho \( a^2 \). - Ta có: \[ a^2 = BD^2 + CD^2 \] \[ a^2 = (c \cos B)^2 + (b \cos C)^2 \] \[ a^2 = c^2 \cos^2 B + b^2 \cos^2 C \] - Thay \( h^2 = c^2 \sin^2 B \) và \( h^2 = b^2 \sin^2 C \) vào phương trình \( a^2 = BD^2 + CD^2 \): \[ a^2 = c^2 \cos^2 B + b^2 \cos^2 C \] \[ a^2 = c^2 (1 - \sin^2 B) + b^2 (1 - \sin^2 C) \] \[ a^2 = c^2 - c^2 \sin^2 B + b^2 - b^2 \sin^2 C \] \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Tương tự, ta cũng có thể chứng minh: \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \] \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \] Vậy, ta đã chứng minh được định lý cô sin: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \] \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \]