Giúp em vouws ạ

Câu 17. a) Thay tọa độ điểm A(1;5) vào hàm số $y = -x^2 + 4$, ta có: \[ y = -(1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3 \neq 5 \] Vậy (P) không đi qua điểm A(1;5). Khẳng định này là sai. b) Đỉnh của parabol $y = -x^2 + 4$ là điểm có hoành độ $x = 0$. Thay vào ta có: \[ y = -(0)^2 + 4 = 4 \] Vậy đỉnh của (P) là I(0;4). Khẳng định này là đúng. c) Đồ thị của hàm số $y = -x^2 + 4$ là một parabol mở xuống với đỉnh tại (0;4). Do đó, hình vẽ trong câu hỏi là đúng. d) Để tìm giao điểm của (P) và đường thẳng d: $y = -x + 6$, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = -x^2 + 4 \\ y = -x + 6 \end{cases} \] Thay $y = -x + 6$ vào phương trình thứ nhất, ta có: \[ -x + 6 = -x^2 + 4 \] \[ x^2 - x + 2 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai này: \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0 \] Vì $\Delta < 0$, nên phương trình vô nghiệm. Vậy (P) và đường thẳng d không có giao điểm. Khẳng định này là sai. Đáp số: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 18. a) Tọa độ điểm C sao cho $\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{AB}$ là $C(6;-15)$ Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là $(1-3, 0+5) = (-2, 5)$. Tọa độ của $\overrightarrow{OC}$ là $-3 \times (-2, 5) = (6, -15)$. Vậy tọa độ của điểm C là $C(6, -15)$. b) Tọa độ điểm D đối xứng với A qua C là $D(9;25)$ Tọa độ của điểm D là $2 \times (6, -15) - (3, -5) = (12 - 3, -30 + 5) = (9, -25)$. Vậy tọa độ của điểm D là $D(9, -25)$. c) $AB = 29$ Độ dài đoạn thẳng AB là $\sqrt{(1-3)^2 + (0+5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$. Vậy độ dài đoạn thẳng AB là $\sqrt{29}$. d) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-3, -8)$ Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $1 \times (-3) + (-2) \times 4 = -3 - 8 = -11$. Vậy $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -11$. Câu 19. Để giải bất phương trình $\frac{x^2-7x+12}{x^2-4} \leq 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Bất phương trình có mẫu số là $x^2 - 4$. Để phân thức có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ x^2 - 4 \neq 0 \implies (x - 2)(x + 2) \neq 0 \implies x \neq 2 \text{ và } x \neq -2 \] Vậy ĐKXĐ là $x \neq 2$ và $x \neq -2$. 2. Phân tích tử số và mẫu số: - Tử số: $x^2 - 7x + 12$ Ta phân tích thành nhân tử: \[ x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) \] - Mẫu số: $x^2 - 4$ Ta phân tích thành nhân tử: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] 3. Viết lại bất phương trình: \[ \frac{(x - 3)(x - 4)}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0 \] 4. Xét dấu của các thừa số: Ta lập bảng xét dấu cho các thừa số $(x - 3)$, $(x - 4)$, $(x - 2)$ và $(x + 2)$: | x | (-∞, -2) | -2 | (-2, 2) | 2 | (2, 3) | 3 | (3, 4) | 4 | (4, ∞) | |:--------:|:------------:|:------:|:-----------:|:-----:|:----------:|:-----:|:----------:|:-----:|:----------:| | x - 3 | - | - | - | - | - | 0 | + | + | + | | x - 4 | - | - | - | - | - | - | - | 0 | + | | x - 2 | - | - | - | 0 | + | + | + | + | + | | x + 2 | - | 0 | + | + | + | + | + | + | + | | Phân thức | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | 5. Xác định khoảng nghiệm: Bất phương trình $\frac{(x - 3)(x - 4)}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0$ đúng khi phân thức có giá trị âm hoặc bằng 0. Từ bảng xét dấu, ta thấy các khoảng nghiệm là: \[ (-2, 2) \cup [3, 4) \] 6. Kiểm tra điều kiện xác định: Các giá trị $x = -2$ và $x = 2$ không thỏa mãn ĐKXĐ, nên loại bỏ. 7. Tìm nghiệm nguyên: Trong khoảng $(-2, 2)$, các số nguyên là $-1, 0, 1$. Trong khoảng $[3, 4)$, các số nguyên là $3$. Vậy các nghiệm nguyên của bất phương trình là $-1, 0, 1, 3$. Đáp số: Số nghiệm nguyên là 4. Câu 20. Để tìm độ dài đường cao \( h_a \) của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác ABC: - Ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen kẽ giữa chúng: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2}ac \sin B \] - Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \sin 150^\circ \] - Biết rằng \(\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \] 2. Tính độ dài đường cao \( h_a \): - Diện tích tam giác cũng có thể được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} a h_a \] - Thay diện tích vừa tính được và cạnh \( a \) vào công thức: \[ 5 = \frac{1}{2} \times 4 \times h_a \] - Giải phương trình để tìm \( h_a \): \[ 5 = 2 \times h_a \implies h_a = \frac{5}{2} = 2.5 \] Vậy độ dài đường cao \( h_a \) của tam giác ABC là \( 2.5 \). Câu 21. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác đều ABC, các cạnh AB và AC đều có độ dài bằng nhau và góc giữa chúng là 60°. Ta sẽ tính độ dài của véc-tơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ bằng cách sử dụng công thức tính độ dài tổng hai véc-tơ: \[ |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + 2 |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos(\theta)} \] Trong đó: - $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3}$ - Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là $\theta = 60^\circ$ Thay các giá trị này vào công thức: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ)} \] Biết rằng $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{3 + 3 + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}} \] \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{3 + 3 + 3} \] \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{9} \] \[ |\overrightarrow{u}| = 3 \] Vậy độ dài của véc-tơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ là 3. Câu 22. Để tìm số đo góc B trong tam giác ABC, ta sẽ sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm và công thức tính cos của góc trong tam giác. Bước 1: Tính khoảng cách AB, BC và AC. - Khoảng cách AB: \[ AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(1 + 1)^2 + (1 + 1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] - Khoảng cách BC: \[ BC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (-1 + 1)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \] - Khoảng cách AC: \[ AC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Bước 2: Áp dụng công thức cos của góc trong tam giác. Công thức tính cos góc B: \[ \cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \] Thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ \cos B = \frac{(2\sqrt{2})^2 + 3^2 - (\sqrt{5})^2}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{8 + 9 - 5}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{12}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Bước 3: Xác định số đo góc B. Biết rằng $\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ta nhận thấy rằng góc B có thể là 45° hoặc 135°. Tuy nhiên, vì tam giác ABC nằm trong nửa đường tròn đơn vị và chỉ xét góc phần tư I và II, góc B phải là 45°. Vậy số đo góc B là 45°. Câu 23. Điều kiện xác định: \[ 2x^2 - 6x - 8 \geq 0 \quad \text{và} \quad x^2 - 5x - 2 \geq 0 \] Bước 1: Giải bất phương trình \(2x^2 - 6x - 8 \geq 0\) Phương trình \(2x^2 - 6x - 8 = 0\) có hai nghiệm: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{4} = \frac{6 \pm 10}{4} \] \[ x_1 = 4, \quad x_2 = -1 \] Do đó, \(2x^2 - 6x - 8 \geq 0\) khi \(x \leq -1\) hoặc \(x \geq 4\). Bước 2: Giải bất phương trình \(x^2 - 5x - 2 \geq 0\) Phương trình \(x^2 - 5x - 2 = 0\) có hai nghiệm: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2} \] \[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \] Do đó, \(x^2 - 5x - 2 \geq 0\) khi \(x \leq \frac{5 - \sqrt{33}}{2}\) hoặc \(x \geq \frac{5 + \sqrt{33}}{2}\). Bước 3: Xác định giao của các điều kiện: \[ x \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 4 \] \[ x \leq \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \quad \text{hoặc} \quad x \geq \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \] Giao của các điều kiện này là: \[ x \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \] Bước 4: Giải phương trình \(\sqrt{2x^2-6x-8}=\sqrt{x^2-5x-2}\) \[ 2x^2 - 6x - 8 = x^2 - 5x - 2 \] \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Phương trình \(x^2 - x - 6 = 0\) có hai nghiệm: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \] \[ x_1 = 3, \quad x_2 = -2 \] Kiểm tra điều kiện: - \(x = 3\) không thỏa mãn \(x \leq -1\) hoặc \(x \geq \frac{5 + \sqrt{33}}{2}\). - \(x = -2\) thỏa mãn \(x \leq -1\). Vậy nghiệm của phương trình là \(x = -2\). Đáp số: \(x = -2\). Câu 24. Trước tiên, ta cần hiểu rằng để vật dừng lại, tổng các lực tác dụng lên vật phải bằng không. Điều này có nghĩa là tổng các thành phần của các lực theo mỗi phương phải bằng không. Ta có: - Lực $\overrightarrow{F_1}$ có độ lớn là $F_1$. - Lực $\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn là $2F_1$ (vì độ lớn của $\overrightarrow{F_2}$ lớn gấp đôi độ lớn của $\overrightarrow{F_1}$). - Hai lực $\overrightarrow{F_3}$ và $\overrightarrow{F_4}$ có độ lớn bằng nhau và bằng $20\sqrt{2} \text{ N}$, và chúng tạo với $\overrightarrow{F_1}$ các góc $45^\circ$. Ta sẽ phân tích các lực theo phương ngang (x) và phương thẳng đứng (y). 1. Phân tích lực $\overrightarrow{F_3}$ và $\overrightarrow{F_4}$: - Thành phần theo phương x của $\overrightarrow{F_3}$ là $F_{3x} = 20\sqrt{2} \cos(45^\circ) = 20\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 \text{ N}$. - Thành phần theo phương y của $\overrightarrow{F_3}$ là $F_{3y} = 20\sqrt{2} \sin(45^\circ) = 20\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 \text{ N}$. - Thành phần theo phương x của $\overrightarrow{F_4}$ là $F_{4x} = 20\sqrt{2} \cos(45^\circ) = 20 \text{ N}$. - Thành phần theo phương y của $\overrightarrow{F_4}$ là $F_{4y} = 20\sqrt{2} \sin(45^\circ) = 20 \text{ N}$. 2. Tổng các thành phần theo phương x: - Tổng các thành phần theo phương x là $F_{1x} + F_{3x} + F_{4x} = F_1 + 20 + 20 = F_1 + 40$. - Vì vật dừng lại, tổng các thành phần theo phương x phải bằng không: $F_1 + 40 = 0$. 3. Tổng các thành phần theo phương y: - Tổng các thành phần theo phương y là $F_{3y} + F_{4y} = 20 + 20 = 40$. - Vì vật dừng lại, tổng các thành phần theo phương y phải bằng không: $40 = 0$. Từ phương trình $F_1 + 40 = 0$, ta có: \[ F_1 = -40 \] Do độ lớn lực không thể âm, ta có: \[ F_1 = 40 \text{ N} \] Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow{F_1}$ là $40 \text{ N}$.