Làm câu 26, 27 làm đúng

Câu 26. a) Góc còn lại của $\Delta ABC$ có số đo bằng $45^0$ Ta có: \[ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \] \[ \widehat{A} + 60^\circ + 75^\circ = 180^\circ \] \[ \widehat{A} = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ \] b) Độ dài cạnh $AB=4\sqrt3~cm$ Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC: \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \] \[ \frac{8}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin 75^\circ} \] \[ \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AB}{\sin 75^\circ} \] \[ 8 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{AB}{\sin 75^\circ} \] \[ 8 \times \sqrt{2} = \frac{AB}{\sin 75^\circ} \] \[ 8 \sqrt{2} = \frac{AB}{\sin 75^\circ} \] \[ AB = 8 \sqrt{2} \times \sin 75^\circ \] \[ \sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \] \[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] \[ AB = 8 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 2 \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{12} + 2 \sqrt{4} = 4 \sqrt{3} + 4 \] c) Độ dài cạnh AC của tam giác ABC bằng $4\sqrt6~cm$ Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC: \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \] \[ \frac{8}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ} \] \[ \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ 8 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ 8 \sqrt{2} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ AC = 8 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{6} \] d) Diện tích tam giác ABC bằng $8\sqrt3+24~cm^2$ Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin C \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (4 \sqrt{3} + 4) \cdot 8 \cdot \sin 75^\circ \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (4 \sqrt{3} + 4) \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] \[ S_{ABC} = (4 \sqrt{3} + 4) \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] \[ S_{ABC} = (4 \sqrt{3} + 4) \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \] \[ S_{ABC} = 2 \sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \] \[ S_{ABC} = 2 \sqrt{18} + 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} \] \[ S_{ABC} = 6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} \] \[ S_{ABC} = 8 \sqrt{2} + 4 \sqrt{6} \] Đáp án: a) Góc còn lại của $\Delta ABC$ có số đo bằng $45^0$ b) Độ dài cạnh $AB=4\sqrt3~cm$ c) Độ dài cạnh AC của tam giác ABC bằng $4\sqrt6~cm.$ d) Diện tích tam giác ABC bằng $8\sqrt3+24~cm^2$. Câu 27. a) Ta có: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} \] \[ \overrightarrow{MA} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{MB} \] \[ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{MB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] Mặt khác: \[ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CM} \] \[ \overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{CB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} \] Thay vào: \[ \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CA}) + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] Vì $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA}$, ta có: \[ \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} \] \[ \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{CA} \] Nhưng ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} \] Do đó: \[ \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}) - \frac{1}{4}\overrightarrow{CA} \] \[ \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{CA} \] \[ \overrightarrow{MN} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} \] b) Ta có: \[ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] c) Ta có: \[ \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{MB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \] Do đó: \[ \overrightarrow{MC} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \] \[ \overrightarrow{MC} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{MC} = -\frac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] Nhưng ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] d) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{NB} \] \[ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] \[ \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{CB} \] \[ \overrightarrow{NC} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{NB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) \] \[ \overrightarrow{NB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{AB} - \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} \] Thay vào: \[ \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AB} - \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} - \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{AB} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \] Nhưng ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CM} \] Đáp án đúng là: a) $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$ b) $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ c) $\overrightarrow{MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ d) $\overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CM}$