Trong không gian, cho hai đường thẳng a và b lần lượt đi qua các điểm A(0;0;0) và B(2;1;3), với vectơ chỉ phương tương ứng là u = (1;2;1) và v = (-1;1;2). a) Chứng minh rằng a và b chéo nhau. b) Viết p...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. a) Chứng minh rằng a và b chéo nhau Hai đường thẳng chéo nhau trong không gian nếu chúng không cắt nhau và không song song. Để chứng minh điều này, ta cần kiểm tra hai điều kiện: 1. Không song song: Hai đường thẳng không song song nếu vectơ chỉ phương của chúng không cùng phương. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $$ là $$ và của đường thẳng $$ là $$. Ta kiểm tra tích chéo của hai vectơ này: $$ $$ Vì $$, nên hai vectơ không cùng phương, do đó hai đường thẳng không song song. 2. Không cắt nhau: Để kiểm tra hai đường thẳng có cắt nhau hay không, ta cần giải hệ phương trình từ phương trình tham số của hai đường thẳng và kiểm tra xem có nghiệm hay không. b) Viết phương trình tổng quát và tham số của hai đường thẳng - Phương trình tham số của đường thẳng $$: $$ - Phương trình tham số của đường thẳng $$: $$ c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau được tính bằng công thức: $$ Với $$ và $$, ta có: $$ Tích chéo $$ đã tính ở trên. Độ dài của $$ là: $$ Tích vô hướng $$ là: $$ Do đó, khoảng cách $$ là: $$ d) Tìm tọa độ điểm M thuộc a và N thuộc b sao cho MN là đoạn vuông góc ngắn nhất nối hai đường thẳng, và tính độ dài đoạn MN Điểm $$ trên đường thẳng $$ có tọa độ $$ và điểm $$ trên đường thẳng $$ có tọa độ $$. Để $$ là đoạn vuông góc ngắn nhất, vectơ $$ phải vuông góc với cả hai vectơ chỉ phương $$ và $$. Vectơ $$. Điều kiện vuông góc với $$: $$ $$ $$ Điều kiện vuông góc với $$: $$ $$ $$ $$ Giải hệ phương trình: $$ Giải hệ phương trình này để tìm $$ và $$: $$ Nhân cả hai vế với 12 để khử mẫu: $$ $$ Thay $$ vào phương trình $$: $$ Vậy tọa độ điểm $$ là: $$ Và tọa độ điểm $$ là: $$ Độ dài đoạn $$ là: $$ Tính từng phần: $$ $$ $$ Do đó: $$ $$ $$ $$ $$ Vậy độ dài đoạn $$ là $$.