giải giúp tôi câu 1, 2

Câu 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T = 3x - 2y - 4 \) với \( x \) và \( y \) thỏa mãn hệ bất phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y - 1 \leq 0 \\ x + 4y + 9 \geq 0 \\ x - 2y + 3 \geq 0 \end{array} \right. \] Chúng ta sẽ vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình này trên mặt phẳng tọa độ để xác định miền giải của hệ bất phương trình. 1. Vẽ các đường thẳng: - \( x - y - 1 = 0 \) - \( x + 4y + 9 = 0 \) - \( x - 2y + 3 = 0 \) 2. Xác định miền giải: - Đối với \( x - y - 1 \leq 0 \), miền giải nằm dưới đường thẳng \( x - y - 1 = 0 \). - Đối với \( x + 4y + 9 \geq 0 \), miền giải nằm trên đường thẳng \( x + 4y + 9 = 0 \). - Đối với \( x - 2y + 3 \geq 0 \), miền giải nằm trên đường thẳng \( x - 2y + 3 = 0 \). 3. Tìm giao điểm của các đường thẳng: - Giao điểm của \( x - y - 1 = 0 \) và \( x + 4y + 9 = 0 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y = 1 \\ x + 4y = -9 \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: \[ x - y = 1 \implies x = y + 1 \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ (y + 1) + 4y = -9 \implies 5y + 1 = -9 \implies 5y = -10 \implies y = -2 \] \[ x = -2 + 1 = -1 \] Vậy giao điểm là \( (-1, -2) \). - Giao điểm của \( x - y - 1 = 0 \) và \( x - 2y + 3 = 0 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y = 1 \\ x - 2y = -3 \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: \[ x - y = 1 \implies x = y + 1 \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ (y + 1) - 2y = -3 \implies -y + 1 = -3 \implies -y = -4 \implies y = 4 \] \[ x = 4 + 1 = 5 \] Vậy giao điểm là \( (5, 4) \). - Giao điểm của \( x + 4y + 9 = 0 \) và \( x - 2y + 3 = 0 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} x + 4y = -9 \\ x - 2y = -3 \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: \[ x + 4y = -9 \implies x = -9 - 4y \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ (-9 - 4y) - 2y = -3 \implies -9 - 6y = -3 \implies -6y = 6 \implies y = -1 \] \[ x = -9 - 4(-1) = -9 + 4 = -5 \] Vậy giao điểm là \( (-5, -1) \). 4. Kiểm tra các giao điểm trong miền giải: - Điểm \( (-1, -2) \) thỏa mãn tất cả các bất phương trình. - Điểm \( (5, 4) \) không thỏa mãn bất phương trình \( x - y - 1 \leq 0 \). - Điểm \( (-5, -1) \) không thỏa mãn bất phương trình \( x - 2y + 3 \geq 0 \). Do đó, miền giải của hệ bất phương trình là tam giác có đỉnh tại \( (-1, -2) \), \( (-5, -1) \), và \( (-1, -2) \). 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T = 3x - 2y - 4 \): - Tại điểm \( (-1, -2) \): \[ T = 3(-1) - 2(-2) - 4 = -3 + 4 - 4 = -3 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T \) là \(-3\) và đạt được khi \( x = -1 \) và \( y = -2 \). 6. Tính \( x^2_0 + y^2_0 \): \[ x^2_0 + y^2_0 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5 \] Đáp số: \( x^2_0 + y^2_0 = 5 \). Câu 2: Trước tiên, ta cần vẽ hình và xác định các thông tin đã cho: - Tam giác ABC vuông tại A với AB = 2 và BC = 4. - G là trọng tâm của tam giác ABC. a) Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}$ Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$: - Ta biết rằng $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. - Do đó, $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = (-\overrightarrow{AB}).\overrightarrow{BC}$. - Áp dụng công thức tính tích vô hướng: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta)$, trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ. - Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là góc BAC, tức là 90°. - Vậy $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = -|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BC}| \cos(90^\circ) = -2 \times 4 \times 0 = 0$. Tính $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}$: - Ta biết rằng $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$. - Do đó, $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BC}.(-\overrightarrow{AC})$. - Áp dụng công thức tính tích vô hướng: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta)$, trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ. - Góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AC}$ là góc ACB, tức là 90°. - Vậy $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{BC}| |\overrightarrow{AC}| \cos(90^\circ) = 4 \times 2 \times 0 = 0$. b) Tính giá trị của biểu thức $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}$ Xác định các vectơ từ trọng tâm G: - Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, nghĩa là G nằm ở khoảng cách $\frac{2}{3}$ từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. - Ta có $\overrightarrow{GA} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$, $\overrightarrow{GB} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})$, $\overrightarrow{GC} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})$. Tính $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}$: - $\overrightarrow{GA} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ - $\overrightarrow{GB} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})$ - $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB} = \left(\frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\right).\left(\frac{1}{3} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})\right)$ - $= \frac{1}{9} \left((\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})\right)$ - $= \frac{1}{9} \left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\right)$ - $= \frac{1}{9} \left(-|\overrightarrow{AB}|^2 + 0 + 0 + 0\right)$ - $= \frac{1}{9} \left(-2^2\right) = \frac{1}{9} \times (-4) = -\frac{4}{9}$ Tính $\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}$: - $\overrightarrow{GB} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})$ - $\overrightarrow{GC} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})$ - $\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC} = \left(\frac{1}{3} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})\right).\left(\frac{1}{3} (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})\right)$ - $= \frac{1}{9} \left((\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}).(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})\right)$ - $= \frac{1}{9} \left(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CB}\right)$ - $= \frac{1}{9} \left(0 + 0 + 0 - |\overrightarrow{BC}|^2\right)$ - $= \frac{1}{9} \left(-4^2\right) = \frac{1}{9} \times (-16) = -\frac{16}{9}$ Tính $\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}$: - $\overrightarrow{GC} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})$ - $\overrightarrow{GA} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ - $\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA} = \left(\frac{1}{3} (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})\right).\left(\frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\right)$ - $= \frac{1}{9} \left((\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}).(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\right)$ - $= \frac{1}{9} \left(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AC}\right)$ - $= \frac{1}{9} \left(0 + 0 + 0 + 0\right) = 0$ Tổng các tích vô hướng: - $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA} = -\frac{4}{9} + -\frac{16}{9} + 0 = -\frac{20}{9}$ Vậy giá trị của biểu thức là $-\frac{20}{9}$.