toánnnnnnnn

Câu 1: a) Đúng vì $M = (-\infty; 3)$ có nghĩa là tập hợp các số thực nhỏ hơn 3. b) Sai vì $3 \notin M$, vì $M$ chỉ chứa các số nhỏ hơn 3. c) Sai vì $M \cap N$ không thể là $\{0; 1; 2\}$ nếu không biết tập hợp $N$ cụ thể là gì. Chúng ta cần biết thêm thông tin về tập hợp $N$ để xác định giao của chúng. d) Đúng vì bù của $M$ trong tập số thực $\mathbb{R}$ là các số lớn hơn hoặc bằng 3, tức là $[3; +\infty)$. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng. Câu 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần của nó. a) Tập hợp A có 6 phần tử Tập hợp \( A = \{x \in \mathbb{N} | -2 < x \leq 4\} \). Các số tự nhiên \( x \) thỏa mãn điều kiện \( -2 < x \leq 4 \) là: \[ x = 0, 1, 2, 3, 4 \] Vậy tập hợp \( A = \{0, 1, 2, 3, 4\} \). Số phần tử của tập hợp \( A \) là 5, không phải 6. Do đó, phát biểu này sai. b) Tập hợp \( B \subset A \) Tập hợp \( B = \{x \in \mathbb{R} | x(x^2 + 2x - 3) = 0\} \). Phương trình \( x(x^2 + 2x - 3) = 0 \) có các nghiệm: \[ x = 0 \] \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai \( x^2 + 2x - 3 = 0 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Có hai nghiệm: \[ x = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ x = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \] Vậy tập hợp \( B = \{0, 1, -3\} \). Tập hợp \( B \) không phải là tập con của \( A \) vì \( -3 \notin A \). Do đó, phát biểu này sai. c) Tập hợp \( B \setminus A \) có 2 phần tử Tập hợp \( B \setminus A \) là tập hợp các phần tử thuộc \( B \) nhưng không thuộc \( A \): \[ B \setminus A = \{-3\} \] Vậy tập hợp \( B \setminus A \) có 1 phần tử, không phải 2 phần tử. Do đó, phát biểu này sai. d) Có đúng 1 tập hợp \( X \) thỏa mãn điều kiện: \( B \subset X \subset A \) Tập hợp \( B = \{0, 1, -3\} \) và tập hợp \( A = \{0, 1, 2, 3, 4\} \). Để \( B \subset X \subset A \), tập hợp \( X \) phải chứa tất cả các phần tử của \( B \) và ít nhất một phần tử của \( A \) nhưng không chứa \( -3 \). Các phần tử còn lại của \( A \) là \( \{2, 3, 4\} \). Do đó, tập hợp \( X \) có thể là: \[ X = \{0, 1, 2\} \] \[ X = \{0, 1, 3\} \] \[ X = \{0, 1, 4\} \] \[ X = \{0, 1, 2, 3\} \] \[ X = \{0, 1, 2, 4\} \] \[ X = \{0, 1, 3, 4\} \] \[ X = \{0, 1, 2, 3, 4\} \] Như vậy, có nhiều hơn 1 tập hợp \( X \) thỏa mãn điều kiện \( B \subset X \subset A \). Do đó, phát biểu này sai. Kết luận Không có phát biểu nào trong các phát biểu trên là đúng. Câu 3: a) Tập $A=\{1;2;3;5;7\}.$ Số 1 không phải là số nguyên tố nên mệnh đề này sai. b) Tập $B=\{x\in\Box|(x-3)(x-5)=0\}.$ Ta có $(x-3)(x-5)=0$ suy ra $x=3$ hoặc $x=5$. Vậy $B=\{3;5\}$. Tập B có đúng 4 tập con là $\emptyset$, $\{3\}$, $\{5\}$ và $\{3;5\}$. Mệnh đề này đúng. c) Số tập con có 2 phần tử của A là 6. Tập A có 5 phần tử là 2, 3, 5, 7. Số tập con có 2 phần tử của A là $\binom{5}{2}=10$. Mệnh đề này sai. d) Có 5 tập X thỏa $B\subset X\subset A.$ Các tập X thỏa mãn là $\{3;5;2\}$, $\{3;5;7\}$, $\{3;5;2;7\}$. Mệnh đề này sai vì có 3 tập X thỏa mãn, không phải 5 tập. Câu 4: a) Tập hợp \( A = (-3; 4) \) được biểu diễn trên trục số là đoạn thẳng mở từ -3 đến 4, không bao gồm hai điểm đầu mút. b) Ta có: \[ A = (-3; 4) \] \[ B = [1; +\infty) \] Tập hợp \( A \cup B \) là tập hợp tất cả các số thực thuộc \( A \) hoặc \( B \): \[ A \cup B = (-3; 4) \cup [1; +\infty) = (-3; +\infty) \] c) Ta có: \[ A = (-3; 4) \] Tập hợp \( A \cap \Box^\bullet \) cần tìm là tập hợp các số nguyên nằm trong khoảng từ -3 đến 4: \[ A \cap \mathbb{Z} = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} \] d) Ta có: \[ A = (-3; 4) \] \[ B = [1; +\infty) \] Tập hợp \( A \cap B \) là tập hợp các số thực thuộc cả \( A \) và \( B \): \[ A \cap B = (-3; 4) \cap [1; +\infty) = [1; 4) \] Tập hợp bù của \( A \cap B \) trong tập số thực \( \mathbb{R} \) là: \[ C_{\mathbb{R}}(A \cap B) = (-\infty; 1) \cup [4; +\infty) \] Đáp số: a) Biểu diễn tập hợp \( A \) trên trục số là đoạn thẳng mở từ -3 đến 4. b) \( A \cup B = (-3; +\infty) \) c) \( A \cap \mathbb{Z} = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} \) d) \( C_{\mathbb{R}}(A \cap B) = (-\infty; 1) \cup [4; +\infty) \) Câu 5. a) Ta có: - Tập hợp $A = (-1, 7]$ - Tập hợp $B = [-3, 5)$ Phần a) yêu cầu tìm $C_0A$, nghĩa là phần bù của tập hợp $A$ trong không gian mẫu $\mathbb{R}$. Phần bù của $A$ là các số thực không thuộc khoảng $(-1, 7]$. Do đó: \[ C_0A = (-\infty, -1) \cup [7, +\infty) \] b) Ta cần tìm $B \setminus A$, nghĩa là các phần tử thuộc $B$ nhưng không thuộc $A$. Tập hợp $B = [-3, 5)$ và tập hợp $A = (-1, 7]$. Phần giao của $B$ và $A$ là $(-1, 5)$. Vậy phần còn lại của $B$ không thuộc $A$ là: \[ B \setminus A = [-3, -1] \] c) Tập hợp $A$ được viết dưới dạng: \[ A = (-1, 7] \] d) Ta cần tìm $A \cap B$, nghĩa là phần giao của tập hợp $A$ và tập hợp $B$. Tập hợp $A = (-1, 7]$ và tập hợp $B = [-3, 5)$. Phần giao của chúng là: \[ A \cap B = (-1, 5) \] Kết luận: a) $C_0A = (-\infty, -1) \cup [7, +\infty)$ b) $B \setminus A = [-3, -1]$ c) Tập hợp $A$ được viết dưới dạng $A = (-1, 7]$ d) $A \cap B = (-1, 5)$ Câu 6. a) Ta có: \[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} \] Do đó, mệnh đề này đúng. b) Ta có: \[ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CM} \] Trong hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC nên: \[ \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{MB} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB} \] Mệnh đề này sai vì $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB}$ chứ không phải $\overrightarrow{AC}$. c) Ta có: \[ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{ND} \] Trong hình bình hành ABCD, N là trung điểm của AD nên: \[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{ND} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{MN} \] Mệnh đề này đúng. d) Ta có: \[ \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{DE} \] Trong hình bình hành ABCD, E và F là giao điểm của BD với AM và CN. Do đó: \[ \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BD} \] Mệnh đề này sai vì $\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{BD}$ chứ không phải $\overrightarrow{ED}$. Đáp số: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 7. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình bình hành ABCD, các đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O, tạo thành các vectơ từ O đến các đỉnh của hình bình hành. a) Ta cần kiểm tra xem $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ có phải là hai vectơ đối nhau hay không. - Trong hình bình hành, giao điểm của hai đường chéo là trung điểm của cả hai đường chéo. Do đó, O là trung điểm của AC. - Điều này có nghĩa là $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ có cùng độ dài nhưng ngược chiều, tức là chúng là hai vectơ đối nhau. Vậy, $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ là hai vectơ đối nhau. b) Ta cần kiểm tra xem $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$ có phải là hai vectơ đối nhau hay không. - Tương tự như trên, O cũng là trung điểm của BD. - Điều này có nghĩa là $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$ có cùng độ dài nhưng ngược chiều, tức là chúng là hai vectơ đối nhau. Vậy, $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$ là hai vectơ đối nhau. c) Ta cần kiểm tra xem $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ có đúng hay không. - Vì $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ là hai vectơ đối nhau, nên $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$. - Tương tự, vì $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$ là hai vectơ đối nhau, nên $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$. Vậy, $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$. d) Ta cần kiểm tra xem $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}$ có đúng hay không. - Ta đã biết $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$. - Do đó, $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$. - Ta cũng cần kiểm tra $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}$: - Trong hình bình hành, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ (vì AD song song và bằng BC). - Do đó, $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}$. Vậy, $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}$. Kết luận: a) Đúng, $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ là hai vectơ đối nhau. b) Đúng, $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$ là hai vectơ đối nhau. c) Đúng, $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$. d) Đúng, $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}$. Câu 6. Để kiểm tra các mệnh đề, ta sẽ tính toán từng trường hợp theo yêu cầu. a) Ta có: \[ \overrightarrow{a} = \frac{1}{2}\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} \] Do đó, tọa độ của \(\overrightarrow{a}\) là \((\frac{1}{2}; 2)\). Mệnh đề này sai vì \(\overrightarrow{a} = (\frac{1}{2}; 2)\), không phải \((\frac{1}{2}; -2)\). b) Ta có: \[ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{i} - \frac{1}{2}\overrightarrow{j} \] Do đó, tọa độ của \(\overrightarrow{b}\) là \((1; -\frac{1}{2})\). Mệnh đề này đúng vì \(\overrightarrow{b} = (1; -\frac{1}{2})\). c) Ta tính \(2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\): \[ 2\overrightarrow{a} = 2 \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} \right) = \overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} \] \[ 3\overrightarrow{b} = 3 \left( \overrightarrow{i} - \frac{1}{2}\overrightarrow{j} \right) = 3\overrightarrow{i} - \frac{3}{2}\overrightarrow{j} \] \[ 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = (\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}) + (3\overrightarrow{i} - \frac{3}{2}\overrightarrow{j}) = 4\overrightarrow{i} + \frac{5}{2}\overrightarrow{j} \] Do đó, tọa độ của \(2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) là \((4; \frac{5}{2})\). Mệnh đề này đúng vì \(2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = (4; \frac{5}{2})\). d) Ta tính \(\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}\): \[ 2\overrightarrow{b} = 2 \left( \overrightarrow{i} - \frac{1}{2}\overrightarrow{j} \right) = 2\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} \] \[ \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} \right) - (2\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}) = \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{i} \right) + (2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{j}) = -\frac{3}{2}\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} \] Do đó, tọa độ của \(\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}\) là \((- \frac{3}{2}; 3)\). Mệnh đề này đúng vì \(\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (- \frac{3}{2}; 3)\). Tóm lại: - Mệnh đề a) Sai. - Mệnh đề b) Đúng. - Mệnh đề c) Đúng. - Mệnh đề d) Đúng. Câu 11. Để kiểm tra các mệnh đề, chúng ta sẽ tính toán từng trường hợp một. a) Tính $|\overrightarrow{a}|$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] Mệnh đề này đúng. b) Tính $|\overrightarrow{b}|$: \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Mệnh đề này sai vì $|\overrightarrow{b}| = \sqrt{5}$ chứ không phải $\sqrt{3}$. c) Tính $|\overrightarrow{c}|$: \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] Mệnh đề này sai vì $|\overrightarrow{c}| = 2\sqrt{13}$ chứ không phải $\sqrt{13}$. d) Tìm vectơ $\overrightarrow{d}$ cùng phương với $\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $\frac{\sqrt{13}}{13}$: - Vectơ $\overrightarrow{a}$ có tọa độ $(2; 3)$ và độ dài là $\sqrt{13}$. - Vectơ $\overrightarrow{d}$ cùng phương với $\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $\frac{\sqrt{13}}{13}$, tức là $\frac{1}{13}$ lần độ dài của $\overrightarrow{a}$. Do đó, tọa độ của $\overrightarrow{d}$ sẽ là: \[ \overrightarrow{d} = \left(2 \cdot \frac{1}{13}, 3 \cdot \frac{1}{13}\right) = \left(\frac{2}{13}, \frac{3}{13}\right) \] hoặc \[ \overrightarrow{d} = -\left(\frac{2}{13}, \frac{3}{13}\right) = \left(-\frac{2}{13}, -\frac{3}{13}\right) \] Mệnh đề này sai vì tọa độ của $\overrightarrow{d}$ không phải là $(1; \frac{3}{2})$ hoặc $(-1; -\frac{3}{2})$. Kết luận: - Mệnh đề a) Đúng. - Mệnh đề b) Sai. - Mệnh đề c) Sai. - Mệnh đề d) Sai. Câu 8. Để giải quyết các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho về các đỉnh của tam giác ABC. a) Kiểm tra các tọa độ của A, B, C: - $\overline{OA} = 2\overline{i} - \overline{j}$ suy ra A có tọa độ $(2, -1)$. - $\overline{OB} = \overline{i} + \overline{j}$ suy ra B có tọa độ $(1, 1)$. - $\overline{OC} = 4\overline{i} + \overline{j}$ suy ra C có tọa độ $(4, 1)$. Mệnh đề này đúng. b) Kiểm tra tọa độ của E, trung điểm của AB: - Tọa độ của E là trung điểm của đoạn thẳng AB, do đó: \[ E = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{2 + 1}{2}, \frac{-1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 0 \right). \] Mệnh đề này đúng. c) Kiểm tra tọa độ của G, trọng tâm của tam giác ABC: - Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) = \left( \frac{2 + 1 + 4}{3}, \frac{-1 + 1 + 1}{3} \right) = \left( \frac{7}{3}, \frac{1}{3} \right). \] Mệnh đề này sai vì tọa độ của G là $\left( \frac{7}{3}, \frac{1}{3} \right)$, không phải $\left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$. d) Kiểm tra tọa độ của D sao cho ABCD là hình bình hành: - Trong hình bình hành, vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng vectơ $\overrightarrow{DC}$ và vectơ $\overrightarrow{AD}$ bằng vectơ $\overrightarrow{BC}$. - Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (\overline{i} + \overline{j}) - (2\overline{i} - \overline{j}) = -\overline{i} + 2\overline{j}. \] \[ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}. \] - Để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, ta có: \[ -\overline{i} + 2\overline{j} = (4\overline{i} + \overline{j}) - \overrightarrow{OD}. \] \[ \overrightarrow{OD} = (4\overline{i} + \overline{j}) - (-\overline{i} + 2\overline{j}) = 5\overline{i} - \overline{j}. \] - Do đó, tọa độ của D là $(5, -1)$. Mệnh đề này sai vì tọa độ của D là $(5, -1)$, không phải $(2, -1)$. Tóm lại: - Mệnh đề a) Đúng. - Mệnh đề b) Đúng. - Mệnh đề c) Sai. - Mệnh đề d) Sai. Câu 8: Để giải quyết các yêu cầu liên quan đến ba điểm \( A(-2;5), B(-4;-2), C(1;5) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách giữa hai điểm: - Khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \) được tính bằng công thức: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Tính khoảng cách \( AB \): \[ AB = \sqrt{((-4) - (-2))^2 + ((-2) - 5)^2} \] \[ AB = \sqrt{(-4 + 2)^2 + (-2 - 5)^2} \] \[ AB = \sqrt{(-2)^2 + (-7)^2} \] \[ AB = \sqrt{4 + 49} \] \[ AB = \sqrt{53} \] Tính khoảng cách \( BC \): \[ BC = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (5 - (-2))^2} \] \[ BC = \sqrt{(1 + 4)^2 + (5 + 2)^2} \] \[ BC = \sqrt{5^2 + 7^2} \] \[ BC = \sqrt{25 + 49} \] \[ BC = \sqrt{74} \] Tính khoảng cách \( AC \): \[ AC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - 5)^2} \] \[ AC = \sqrt{(1 + 2)^2 + (5 - 5)^2} \] \[ AC = \sqrt{3^2 + 0^2} \] \[ AC = \sqrt{9} \] \[ AC = 3 \] 2. Xác định hình dạng tam giác \( ABC \): - Để xác định hình dạng tam giác, chúng ta kiểm tra các điều kiện về độ dài các cạnh: - Nếu \( AB = BC = AC \), thì tam giác \( ABC \) là tam giác đều. - Nếu \( AB = BC \) hoặc \( AB = AC \) hoặc \( BC = AC \), thì tam giác \( ABC \) là tam giác cân. - Nếu \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \) hoặc \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \) hoặc \( BC^2 + AC^2 = AB^2 \), thì tam giác \( ABC \) là tam giác vuông. Trong trường hợp này: - \( AB = \sqrt{53} \) - \( BC = \sqrt{74} \) - \( AC = 3 \) Không có hai cạnh nào bằng nhau, và không có cặp cạnh nào thoả mãn điều kiện của tam giác vuông. Do đó, tam giác \( ABC \) là tam giác thường. Kết luận: - Khoảng cách \( AB = \sqrt{53} \) - Khoảng cách \( BC = \sqrt{74} \) - Khoảng cách \( AC = 3 \) - Tam giác \( ABC \) là tam giác thường.