43333333333

Câu 8 a) Ta tính toạ độ của các véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} = (-4 - (-2); -2 - 5) = (-2; -7) \] \[ \overrightarrow{AC} = (1 - (-2); 5 - 5) = (3; 0) \] Tiếp theo, ta tính toạ độ của véc tơ $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$: \[ 2\overrightarrow{AB} = 2(-2; -7) = (-4; -14) \] \[ \overrightarrow{u} = (-4; -14) + (3; 0) = (-1; -14) \] Như vậy, toạ độ của véc tơ $\overrightarrow{u}$ là $(-1; -14)$, không phải $(1; 14)$. Do đó, câu a) sai. b) Để kiểm tra ba điểm A, B, C có tạo thành một tam giác hay không, ta cần kiểm tra xem chúng có thẳng hàng hay không. Ta tính diện tích tam giác ABC bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Thay tọa độ của các điểm vào: \[ S = \frac{1}{2} \left| -2(-2 - 5) + (-4)(5 - 5) + 1(5 - (-2)) \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \left| -2(-7) + (-4)(0) + 1(7) \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \left| 14 + 0 + 7 \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \times 21 = 10.5 \] Diện tích tam giác ABC khác 0, do đó ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. Câu b) đúng. c) Ta tính tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \cdot 3 + (-7) \cdot 0 = -6 + 0 = -6 \] Tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng -6. Câu c) đúng. d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trọng tâm G có tọa độ: \[ G = \left( \frac{-2 + (-4) + 1}{3}, \frac{5 + (-2) + 5}{3} \right) = \left( \frac{-5}{3}, \frac{8}{3} \right) \] Ta tính toạ độ của véc tơ $\overrightarrow{CG}$: \[ \overrightarrow{CG} = \left( \frac{-5}{3} - 1, \frac{8}{3} - 5 \right) = \left( \frac{-8}{3}, \frac{-7}{3} \right) \] Tiếp theo, ta tính cosin của góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CG}$: \[ \cos(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CG}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CG}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CG}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CG} = (-2) \cdot \left( \frac{-8}{3} \right) + (-7) \cdot \left( \frac{-7}{3} \right) = \frac{16}{3} + \frac{49}{3} = \frac{65}{3} \] Tính độ dài của các véc tơ: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53} \] \[ |\overrightarrow{CG}| = \sqrt{\left( \frac{-8}{3} \right)^2 + \left( \frac{-7}{3} \right)^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{49}{9}} = \sqrt{\frac{113}{9}} = \frac{\sqrt{113}}{3} \] Do đó: \[ \cos(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CG}) = \frac{\frac{65}{3}}{\sqrt{53} \cdot \frac{\sqrt{113}}{3}} = \frac{65}{\sqrt{53} \cdot \sqrt{113}} = \frac{65}{\sqrt{5989}} \] Kết quả này gần đúng với -0,84. Câu d) đúng. Đáp án: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 9: Để tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-4 - (-2), -2 - 5) = (-2, -7) \] - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ có tọa độ là: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1 - (-2), 5 - 5) = (3, 0) \] 2. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$: - Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u} = (u_1, u_2)$ và $\overrightarrow{v} = (v_1, v_2)$ là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 \] - Áp dụng công thức này cho $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \cdot 3 + (-7) \cdot 0 = -6 + 0 = -6 \] Như vậy, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -6$.