gfffvftvxgcrgfs

Câu 1. Để tìm cường độ của lực tổng hợp tác động lên vật, ta áp dụng quy tắc hình học của vectơ lực. Cụ thể, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras vì góc giữa hai lực là 90°. Bước 1: Xác định các thông số đã biết: - Cường độ của lực $\overrightarrow{F_1}$ là 300 N. - Cường độ của lực $\overrightarrow{F_2}$ là 400 N. - Góc giữa hai lực là 90°. Bước 2: Áp dụng định lý Pythagoras để tính cường độ của lực tổng hợp $\overrightarrow{F}$: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{(300)^2 + (400)^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \text{ N} \] Vậy, cường độ của lực tác động lên vật là 500 N. Câu 2. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{ID} \] Vì I là trung điểm của AC nên: \[ \overrightarrow{AI} = -\overrightarrow{IC} \] Tương tự, vì J là trung điểm của BD nên: \[ \overrightarrow{BJ} = -\overrightarrow{JD} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{ID} = -\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{ID} \] Nhóm các vectơ lại: \[ = (\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID}) + (\overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IC}) \] Vì \(\overrightarrow{CI} = -\overrightarrow{IC}\), ta có: \[ = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} \] Vì J là trung điểm của BD, ta có: \[ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IJ} \] Vậy: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{IJ} \] So sánh với \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{IJ}\), ta thấy: \[ k = 2 \] Đáp số: \( k = 2 \) Câu 3. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = x - 2y \) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ x + y \leq 2 \\ x - 2y \leq 2 \end{array} \right. \] Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình: - Bất phương trình \( x + 1 \geq 0 \) tương đương với \( x \geq -1 \). - Bất phương trình \( x + y \leq 2 \) là một đường thẳng đi qua điểm \( (2, 0) \) và \( (0, 2) \). - Bất phương trình \( x - 2y \leq 2 \) là một đường thẳng đi qua điểm \( (2, 0) \) và \( (0, -1) \). 2. Vẽ miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ: - Vẽ các đường thẳng \( x = -1 \), \( x + y = 2 \), và \( x - 2y = 2 \). - Xác định miền nghiệm bằng cách kiểm tra các điểm trong mỗi vùng tạo thành bởi các đường thẳng này. 3. Tìm giao điểm của các đường thẳng: - Giao điểm của \( x + y = 2 \) và \( x - 2y = 2 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = 2 \\ x - 2y = 2 \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: \[ x + y = 2 \quad \text{(1)} \] \[ x - 2y = 2 \quad \text{(2)} \] Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2): \[ 2x + 2y = 4 \] \[ x - 2y = 2 \] Cộng hai phương trình: \[ 3x = 6 \implies x = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào (1): \[ 2 + y = 2 \implies y = 0 \] Vậy giao điểm là \( (2, 0) \). - Giao điểm của \( x + y = 2 \) và \( x = -1 \): \[ -1 + y = 2 \implies y = 3 \] Vậy giao điểm là \( (-1, 3) \). - Giao điểm của \( x - 2y = 2 \) và \( x = -1 \): \[ -1 - 2y = 2 \implies -2y = 3 \implies y = -\frac{3}{2} \] Vậy giao điểm là \( (-1, -\frac{3}{2}) \). 4. Kiểm tra giá trị của biểu thức \( F = x - 2y \) tại các đỉnh của miền nghiệm: - Tại \( (2, 0) \): \[ F = 2 - 2(0) = 2 \] - Tại \( (-1, 3) \): \[ F = -1 - 2(3) = -1 - 6 = -7 \] - Tại \( (-1, -\frac{3}{2}) \): \[ F = -1 - 2(-\frac{3}{2}) = -1 + 3 = 2 \] 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: - Các giá trị của \( F \) tại các đỉnh là: 2, -7, 2. - Giá trị nhỏ nhất là \( -7 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = x - 2y \) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình là \( F_{min} = -7 \). Câu 4. Để tìm tọa độ điểm \( E(a; b) \) thỏa mãn \(\overrightarrow{AE} = -2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): - \(\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2, -3 - 2) = (-1, -5)\) - \(\overrightarrow{AC} = C - A = (-3 - 2, 0 - 2) = (-5, -2)\) 2. Tính \(-2\overrightarrow{AB}\) và \(3\overrightarrow{AC}\): - \(-2\overrightarrow{AB} = -2 \times (-1, -5) = (2, 10)\) - \(3\overrightarrow{AC} = 3 \times (-5, -2) = (-15, -6)\) 3. Tính tổng của hai vectơ này: - \(-2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = (2, 10) + (-15, -6) = (2 - 15, 10 - 6) = (-13, 4)\) 4. Tìm tọa độ điểm \(E(a; b)\): - Ta có \(\overrightarrow{AE} = E - A = (a - 2, b - 2)\) - Vì \(\overrightarrow{AE} = (-13, 4)\), nên ta có: \[ a - 2 = -13 \quad \text{và} \quad b - 2 = 4 \] - Giải các phương trình này: \[ a = -13 + 2 = -11 \] \[ b = 4 + 2 = 6 \] 5. Tính \(a + b\): - \(a + b = -11 + 6 = -5\) Vậy, tọa độ điểm \(E\) là \((-11, 6)\) và \(a + b = -5\). Đáp số: \(a + b = -5\). Câu 5. Để xác định chiều cao của tháp, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đo lường dựa trên góc nhìn và khoảng cách đã biết. 1. Xác định các thông số đã biết: - Khoảng cách từ chân tháp đến giác kế: \( CD = 60 \, m \) - Chiều cao của giác kế: \( OC = 1 \, m \) - Góc nhìn từ giác kế đến đỉnh tháp: \( \widehat{AOB} = 60^\circ \) 2. Xác định các đại lượng cần tính: - Chiều cao của tháp: \( AB \) 3. Áp dụng công thức lượng giác: - Trong tam giác vuông \( OAB \), góc \( \widehat{AOB} = 60^\circ \). Ta có: \[ \tan(60^\circ) = \frac{AB}{OB} \] - Biết rằng \( OB = CD = 60 \, m \). 4. Tính giá trị của \( \tan(60^\circ) \): - \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732 \) 5. Thay các giá trị vào công thức: \[ \sqrt{3} = \frac{AB}{60} \] 6. Giải phương trình để tìm \( AB \): \[ AB = 60 \times \sqrt{3} \approx 60 \times 1.732 = 103.92 \, m \] 7. Tính tổng chiều cao của tháp: - Chiều cao của giác kế là 1 m, do đó chiều cao của tháp là: \[ AB + OC = 103.92 + 1 = 104.92 \, m \] 8. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: - Chiều cao của tháp là \( 105 \, m \). Đáp số: Chiều cao của tháp là \( 105 \, m \). Câu 6. Để tính chiều cao \(AH\) của tam giác \(ABC\), ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích tam giác và tính chất của tam giác đều. Bước 1: Tính diện tích tam giác \(ABC\) bằng công thức \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{BAC})\). \[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin(60^\circ) \] Biết rằng \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \] Bước 2: Tính chiều cao \(AH\) bằng công thức diện tích tam giác \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH\). Ta cần biết độ dài cạnh \(BC\). Ta sử dụng định lý余弦定理来计算边长\(BC\)。 \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] 已知\(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\)： \[ BC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} \] \[ BC^2 = 64 + 25 - 40 \] \[ BC^2 = 49 \] \[ BC = 7 \] 现在我们知道了\(BC = 7\)，我们可以用面积公式来求\(AH\)： \[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \] \[ 10\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot AH \] \[ 10\sqrt{3} = \frac{7}{2} \cdot AH \] \[ AH = \frac{20\sqrt{3}}{7} \] 将结果四舍五入到小数点后两位： \[ AH \approx 5.48 \] 所以，三角形\(ABC\)的高\(AH\)约为5.48。