giúp em an ababab

Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một dựa trên bảng biến thiên của hàm số $y = \frac{ax + b}{x - c}$. Bước 1: Xác định các điều kiện từ bảng biến thiên - Hàm số có tiệm cận đứng tại $x = c$. - Hàm số có tiệm cận ngang tại $y = a$ (vì khi $x \to \pm \infty$, $\frac{ax + b}{x - c} \approx a$). Bước 2: Kiểm tra từng lựa chọn a) a, b, c là các số dương. - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi $x \to c^-$ thì $y \to -\infty$ và khi $x \to c^+$ thì $y \to +\infty$. Điều này cho thấy $c$ phải là một số dương. - Khi $x \to \pm \infty$, $y \to a$. Vì hàm số có tiệm cận ngang là $y = 2$, nên $a = 2$. - Do đó, $a$ là số dương. - Để đảm bảo rằng $b$ cũng là số dương, ta cần kiểm tra thêm các giá trị cụ thể của hàm số. Tuy nhiên, từ bảng biến thiên, ta không thể chắc chắn về dấu của $b$ chỉ dựa trên thông tin hiện có. b) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình $y = 2$. - Như đã phân tích ở trên, khi $x \to \pm \infty$, $y \to a$. Vì tiệm cận ngang là $y = 2$, nên $a = 2$. c) $c = 2$ - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số có tiệm cận đứng tại $x = c$. Vì khi $x \to 2^-$ thì $y \to -\infty$ và khi $x \to 2^+$ thì $y \to +\infty$, nên $c = 2$. d) $a + c = 5$ - Ta đã xác định được $a = 2$ và $c = 2$. Do đó, $a + c = 2 + 2 = 4$, không phải là 5. Kết luận - a) a, b, c là các số dương: Không chắc chắn vì không biết dấu của $b$. - b) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình $y = 2$: Đúng. - c) $c = 2$: Đúng. - d) $a + c = 5$: Sai. Vậy các lựa chọn đúng là: - b) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình $y = 2$. - c) $c = 2$. Câu 4. a) Nhóm chứa tử phân vị thứ hai của mẫu số liệu khu vực B là nhóm [25;28) - Để tìm nhóm chứa tử phân vị thứ hai, ta cần tính tổng số lượng nam giới trong mỗi nhóm và xác định nhóm chứa 75% tổng số lượng nam giới. - Tổng số nam giới khu vực B là 100. - 75% của 100 là 75. - Tính tổng số lượng nam giới từ nhóm đầu tiên đến nhóm [25;28): - Nhóm [19; 22): 47 nam giới - Nhóm [22; 25): 40 nam giới - Tổng: 47 + 40 = 87 nam giới - Vì 87 > 75, nên nhóm chứa tử phân vị thứ hai là nhóm [25;28). Đáp án đúng: Đúng. b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn, độ tuổi kết hôn của nam giới được khảo sát khu vực A đồng đều hơn khu vực B. - Độ lệch chuẩn là một phép đo mức độ phân tán của dữ liệu. Một độ lệch chuẩn thấp hơn cho thấy dữ liệu đồng đều hơn. - Để so sánh độ lệch chuẩn giữa hai khu vực, ta cần tính độ lệch chuẩn của cả hai khu vực. - Ta sẽ tính trung bình cộng và độ lệch chuẩn của cả hai khu vực: - Độ tuổi kết hôn trung bình của khu vực A: \[ \bar{x}_A = \frac{(10 \times 20.5) + (27 \times 23.5) + (31 \times 26.5) + (25 \times 29.5) + (7 \times 32.5)}{100} = 26.26 \] - Độ tuổi kết hôn trung bình của khu vực B: \[ \bar{x}_B = \frac{(47 \times 20.5) + (40 \times 23.5) + (11 \times 26.5) + (2 \times 29.5)}{100} = 22.07 \] - Độ lệch chuẩn của khu vực A: \[ \sigma_A = \sqrt{\frac{(10 \times (20.5 - 26.26)^2) + (27 \times (23.5 - 26.26)^2) + (31 \times (26.5 - 26.26)^2) + (25 \times (29.5 - 26.26)^2) + (7 \times (32.5 - 26.26)^2)}{100}} \approx 3.67 \] - Độ lệch chuẩn của khu vực B: \[ \sigma_B = \sqrt{\frac{(47 \times (20.5 - 22.07)^2) + (40 \times (23.5 - 22.07)^2) + (11 \times (26.5 - 22.07)^2) + (2 \times (29.5 - 22.07)^2)}{100}} \approx 2.86 \] - So sánh độ lệch chuẩn: - \(\sigma_A \approx 3.67\) - \(\sigma_B \approx 2.86\) Do đó, độ tuổi kết hôn của nam giới được khảo sát khu vực B đồng đều hơn khu vực A. Đáp án đúng: Sai. c) Độ tuổi kết hôn trung bình của nam giới được khảo sát ở khu vực A là 26,26 tuổi. - Ta đã tính trung bình cộng của độ tuổi kết hôn của nam giới khu vực A ở phần trên: \[ \bar{x}_A = 26.26 \] Đáp án đúng: Đúng. d) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ở khu vực B là 12. - Khoảng biến thiên là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số. - Giá trị lớn nhất của nhóm khu vực B là 34 (nhóm [31; 34)). - Giá trị nhỏ nhất của nhóm khu vực B là 19 (nhóm [19; 22)). Khoảng biến thiên: \[ 34 - 19 = 15 \] Đáp án đúng: Sai. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 1. Để tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2, -1, -3) + (1, 3, 5) = (2+1, -1+3, -3+5) = (3, 2, 2) \] Bước 2: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$: \[ \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = (2, -1, -3) \cdot (3, 2, 2) \] \[ = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 + (-3) \cdot 2 \] \[ = 6 - 2 - 6 \] \[ = -2 \] Vậy, tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$ là $-2$. Câu 2. Để tìm số lượng vi khuẩn lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( N(t) = 1000 + \frac{8100t}{8100 + t^2} \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( N(t) \): \[ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(1000 + \frac{8100t}{8100 + t^2}\right) \] \[ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{8100t}{8100 + t^2}\right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ N'(t) = \frac{(8100)(8100 + t^2) - (8100t)(2t)}{(8100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{8100 \cdot 8100 + 8100t^2 - 16200t^2}{(8100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{8100 \cdot 8100 - 8100t^2}{(8100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{8100(8100 - t^2)}{(8100 + t^2)^2} \] Bước 2: Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình \( N'(t) = 0 \): \[ \frac{8100(8100 - t^2)}{(8100 + t^2)^2} = 0 \] \[ 8100 - t^2 = 0 \] \[ t^2 = 8100 \] \[ t = 90 \text{ hoặc } t = -90 \] Bước 3: Kiểm tra dấu của đạo hàm \( N'(t) \) để xác định tính chất của các điểm cực trị: - Khi \( t < 90 \), \( 8100 - t^2 > 0 \), do đó \( N'(t) > 0 \). - Khi \( t > 90 \), \( 8100 - t^2 < 0 \), do đó \( N'(t) < 0 \). Như vậy, \( t = 90 \) là điểm cực đại của hàm số \( N(t) \). Bước 4: Tính giá trị của \( N(t) \) tại \( t = 90 \): \[ N(90) = 1000 + \frac{8100 \cdot 90}{8100 + 90^2} \] \[ N(90) = 1000 + \frac{729000}{8100 + 8100} \] \[ N(90) = 1000 + \frac{729000}{16200} \] \[ N(90) = 1000 + 45 \] \[ N(90) = 1450 \] Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất là 1450 con, đạt được khi \( t = 90 \) giây. Câu 3. Để tính độ lớn của hợp lực của ba lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, và $\overrightarrow{F_3}$, ta thực hiện theo các bước sau: 1. Tính hợp lực của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$: - Ta sử dụng công thức tính hợp lực của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{F_{12}}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + 2|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos(\theta)} \] Trong đó, $\theta = 120^\circ$, $|\overrightarrow{F_1}| = 22$ N, và $|\overrightarrow{F_2}| = 12$ N. \[ |\overrightarrow{F_{12}}| = \sqrt{22^2 + 12^2 + 2 \cdot 22 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)} \] Biết rằng $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, ta có: \[ |\overrightarrow{F_{12}}| = \sqrt{484 + 144 + 2 \cdot 22 \cdot 12 \cdot (-\frac{1}{2})} \] \[ |\overrightarrow{F_{12}}| = \sqrt{484 + 144 - 264} \] \[ |\overrightarrow{F_{12}}| = \sqrt{364} \] \[ |\overrightarrow{F_{12}}| \approx 19.1 \text{ N} \] 2. Tính hợp lực của ba lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, và $\overrightarrow{F_3}$: - Vì $\overrightarrow{F_3}$ vuông góc với mặt phẳng tạo bởi $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$, nên ta có thể coi $\overrightarrow{F_{12}}$ và $\overrightarrow{F_3}$ là hai vectơ vuông góc với nhau. - Ta sử dụng công thức tính hợp lực của hai vectơ vuông góc: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_{12}}|^2 + |\overrightarrow{F_3}|^2} \] Trong đó, $|\overrightarrow{F_{12}}| \approx 19.1$ N và $|\overrightarrow{F_3}| = 6$ N. \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{19.1^2 + 6^2} \] \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{364.81 + 36} \] \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{400.81} \] \[ |\overrightarrow{F}| \approx 20.0 \text{ N} \] Vậy độ lớn của hợp lực của ba lực là khoảng 20.0 N. Câu 4. Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{3x^2 - 5x + 9}{2x + 1} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện xác định của hàm số là: \[ 2x + 1 \neq 0 \] \[ x \neq -\frac{1}{2} \] Bước 2: Tìm tâm đối xứng \( I(a; b) \) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) \) là điểm \( I(a; b) \) sao cho: \[ f(a + x) + f(a - x) = 2b \] Bước 3: Thay \( x = a + t \) và \( x = a - t \) vào hàm số \[ f(a + t) = \frac{3(a + t)^2 - 5(a + t) + 9}{2(a + t) + 1} \] \[ f(a - t) = \frac{3(a - t)^2 - 5(a - t) + 9}{2(a - t) + 1} \] Bước 4: Tính tổng \( f(a + t) + f(a - t) \) \[ f(a + t) + f(a - t) = \frac{3(a + t)^2 - 5(a + t) + 9}{2(a + t) + 1} + \frac{3(a - t)^2 - 5(a - t) + 9}{2(a - t) + 1} \] Bước 5: Đơn giản hóa biểu thức Ta cần tìm \( a \) sao cho biểu thức trên là hằng số. Để đơn giản hóa, ta có thể thử \( a = -\frac{1}{2} \): \[ f\left(-\frac{1}{2} + t\right) + f\left(-\frac{1}{2} - t\right) = 2b \] Bước 6: Thử \( a = -\frac{1}{2} \) \[ f\left(-\frac{1}{2} + t\right) = \frac{3\left(-\frac{1}{2} + t\right)^2 - 5\left(-\frac{1}{2} + t\right) + 9}{2\left(-\frac{1}{2} + t\right) + 1} \] \[ f\left(-\frac{1}{2} - t\right) = \frac{3\left(-\frac{1}{2} - t\right)^2 - 5\left(-\frac{1}{2} - t\right) + 9}{2\left(-\frac{1}{2} - t\right) + 1} \] Bước 7: Tính giá trị của \( b \) \[ f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 5\left(-\frac{1}{2}\right) + 9}{2\left(-\frac{1}{2}\right) + 1} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{2} + 9}{0 + 1} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{10}{4} + \frac{36}{4}}{1} = \frac{\frac{49}{4}}{1} = \frac{49}{4} \] Vậy tâm đối xứng \( I \left( -\frac{1}{2}; \frac{49}{4} \right) \). Bước 8: Tính \( a + 2b \) \[ a + 2b = -\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{49}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{98}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{49}{2} = \frac{48}{2} = 24 \] Đáp số: \( a + 2b = 24 \). Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của dãy số: Trung bình cộng của dãy số là tổng của tất cả các giá trị chia cho số lượng giá trị trong dãy. 2. Tính phương sai: Phương sai là trung bình cộng của bình phương các khoảng cách giữa mỗi giá trị và trung bình cộng. 3. Tính độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Tìm trung bình cộng Giả sử chúng ta có các giá trị lượng mưa từ năm 2002 đến 2021 là: \[ x_1, x_2, x_3, ..., x_{20} \] Trung bình cộng \( \bar{x} \) được tính bằng công thức: \[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_{20}}{20} \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai \( S^2 \) được tính bằng công thức: \[ S^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + ... + (x_{20} - \bar{x})^2}{20} \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn \( S \) được tính bằng công thức: \[ S = \sqrt{S^2} \] Ví dụ cụ thể Giả sử các giá trị lượng mưa từ năm 2002 đến 2021 là: \[ 100, 120, 110, 90, 130, 140, 115, 105, 125, 135, 100, 110, 120, 130, 140, 115, 105, 125, 135, 100 \] Bước 1: Tìm trung bình cộng \[ \bar{x} = \frac{100 + 120 + 110 + 90 + 130 + 140 + 115 + 105 + 125 + 135 + 100 + 110 + 120 + 130 + 140 + 115 + 105 + 125 + 135 + 100}{20} \] \[ \bar{x} = \frac{2400}{20} = 120 \] Bước 2: Tính phương sai \[ S^2 = \frac{(100-120)^2 + (120-120)^2 + (110-120)^2 + ... + (100-120)^2}{20} \] \[ S^2 = \frac{(-20)^2 + 0^2 + (-10)^2 + ... + (-20)^2}{20} \] \[ S^2 = \frac{400 + 0 + 100 + ... + 400}{20} \] \[ S^2 = \frac{2000}{20} = 100 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn \[ S = \sqrt{100} = 10 \] Vậy, trung bình cộng là 120 mm, phương sai là 100 mm² và độ lệch chuẩn là 10 mm. Đáp số: Trung bình cộng: 120 mm, Phương sai: 100 mm², Độ lệch chuẩn: 10 mm.