người ta muốn xây một bể nước có hình dạng là một khối hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 500/3 mét khối. biết đấy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng vì giá thuê thợ xây là 7...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng liên quan: - Thể tích của bể nước: $\frac{500}{3} \text{ m}^3$. - Chi phí thuê thợ xây: 700,000 ₫/m². - Diện tích đáy của bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. 2. Gọi các đại lượng: - Chiều rộng của bể là $x$ (m). - Chiều dài của bể là $2x$ (m). - Chiều cao của bể là $h$ (m). 3. Xác định điều kiện: - Các đại lượng đều phải lớn hơn 0: $x > 0$, $h > 0$. 4. Lập phương trình thể tích: - Thể tích của bể nước: $V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2h$. - Theo đề bài, $2x^2h = \frac{500}{3}$. 5. Tìm diện tích toàn phần của bể: - Diện tích toàn phần của bể (không có nắp) là: \[ S = 2x \cdot h + 2 \cdot x \cdot h + 2x \cdot 2x = 2xh + 2xh + 4x^2 = 4xh + 4x^2 \] 6. Biểu thị $h$ theo $x$: - Từ phương trình thể tích: $2x^2h = \frac{500}{3}$, suy ra $h = \frac{250}{3x^2}$. 7. Thay $h$ vào diện tích toàn phần: - Diện tích toàn phần: \[ S = 4x \left(\frac{250}{3x^2}\right) + 4x^2 = \frac{1000}{3x} + 4x^2 \] 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần: - Để tìm giá trị nhỏ nhất của $S$, ta tính đạo hàm của $S$ theo $x$ và tìm điểm cực tiểu: \[ S'(x) = -\frac{1000}{3x^2} + 8x \] - Đặt $S'(x) = 0$: \[ -\frac{1000}{3x^2} + 8x = 0 \implies 8x = \frac{1000}{3x^2} \implies 24x^3 = 1000 \implies x^3 = \frac{1000}{24} = \frac{125}{3} \implies x = \sqrt[3]{\frac{125}{3}} = \frac{5}{\sqrt[3]{3}} \] 9. Tính các đại lượng khác: - Chiều rộng: $x = \frac{5}{\sqrt[3]{3}}$. - Chiều dài: $2x = \frac{10}{\sqrt[3]{3}}$. - Chiều cao: $h = \frac{250}{3x^2} = \frac{250}{3 \left(\frac{125}{3}\right)} = 2$. 10. Tính diện tích toàn phần: - Diện tích toàn phần: \[ S = \frac{1000}{3 \cdot \frac{5}{\sqrt[3]{3}}} + 4 \left(\frac{5}{\sqrt[3]{3}}\right)^2 = \frac{1000 \sqrt[3]{3}}{15} + 4 \cdot \frac{25}{3} = \frac{1000 \sqrt[3]{3}}{15} + \frac{100}{3} \] 11. Tính chi phí thuê thợ xây: - Chi phí: \[ C = 700,000 \times S = 700,000 \times \left( \frac{1000 \sqrt[3]{3}}{15} + \frac{100}{3} \right) \] Vậy, kích thước của bể để chi phí thuê công nhân không ít nhất là: - Chiều rộng: $\frac{5}{\sqrt[3]{3}}$ m. - Chiều dài: $\frac{10}{\sqrt[3]{3}}$ m. - Chiều cao: 2 m. Chi phí thuê công nhân là: \[ C = 700,000 \times \left( \frac{1000 \sqrt[3]{3}}{15} + \frac{100}{3} \right) \]