Giúp với ạ

Câu 3: Trước tiên, ta xác định tọa độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D': - A(0, 0, 0) - B(2, 0, 0) - D(0, 4, 0) - C(2, 4, 0) - A'(0, 0, 6) - B'(2, 0, 6) - D'(0, 4, 6) - C'(2, 4, 6) a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác BDC': Trọng tâm G của tam giác BDC' có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh B, D và C': \[ G = \left( \frac{2 + 0 + 2}{3}, \frac{0 + 4 + 4}{3}, \frac{0 + 0 + 6}{3} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{8}{3}, 2 \right) \] b) Độ dài đoạn thẳng AG: Tọa độ của G là \(\left( \frac{4}{3}, \frac{8}{3}, 2 \right)\). Độ dài đoạn thẳng AG: \[ AG = \sqrt{\left( \frac{4}{3} - 0 \right)^2 + \left( \frac{8}{3} - 0 \right)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{\left( \frac{4}{3} \right)^2 + \left( \frac{8}{3} \right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{\frac{16 + 64 + 36}{9}} = \sqrt{\frac{116}{9}} = \frac{2\sqrt{29}}{3} \] c) Tọa độ điểm M trên đoạn B'D sao cho MD = 2MB': Ta có B'(2, 0, 6) và D'(0, 4, 6). M nằm trên đoạn B'D', ta có thể viết tọa độ của M dưới dạng: \[ M = (1-t)B' + tD' = (1-t)(2, 0, 6) + t(0, 4, 6) = (2 - 2t, 4t, 6) \] Theo điều kiện MD = 2MB', ta có: \[ |M - D'| = 2|M - B'| \] \[ |(2 - 2t - 0, 4t - 4, 6 - 6)| = 2|(2 - 2t - 2, 4t - 0, 6 - 6)| \] \[ |(2 - 2t, 4t - 4, 0)| = 2|(-2t, 4t, 0)| \] \[ \sqrt{(2 - 2t)^2 + (4t - 4)^2} = 2\sqrt{(-2t)^2 + (4t)^2} \] \[ \sqrt{(2 - 2t)^2 + (4t - 4)^2} = 2\sqrt{4t^2 + 16t^2} \] \[ \sqrt{(2 - 2t)^2 + (4t - 4)^2} = 2\sqrt{20t^2} \] \[ \sqrt{(2 - 2t)^2 + (4t - 4)^2} = 4\sqrt{5t^2} \] \[ \sqrt{(2 - 2t)^2 + (4t - 4)^2} = 4\sqrt{5}t \] \[ (2 - 2t)^2 + (4t - 4)^2 = 16 \cdot 5t^2 \] \[ 4 - 8t + 4t^2 + 16t^2 - 32t + 16 = 80t^2 \] \[ 20t^2 - 40t + 20 = 80t^2 \] \[ 60t^2 + 40t - 20 = 0 \] \[ 3t^2 + 2t - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6} \] \[ t = \frac{1}{3} \text{ hoặc } t = -1 \] Chọn \( t = \frac{1}{3} \): \[ M = (2 - 2 \cdot \frac{1}{3}, 4 \cdot \frac{1}{3}, 6) = \left( \frac{4}{3}, \frac{4}{3}, 6 \right) \] d) Vector AM: \[ \overrightarrow{AM} = \left( \frac{4}{3} - 0, \frac{4}{3} - 0, 6 - 0 \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{4}{3}, 6 \right) \] \[ \overrightarrow{AB} = (2, 0, 0) \] \[ \overrightarrow{AD} = (0, 4, 0) \] \[ \overrightarrow{AA'} = (0, 0, 6) \] \[ \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AA'} \] Đáp số: a) Tọa độ tam giác BDC' là \( G(4; 8; 6) \). b) Độ dài đoạn thẳng \( AG = \frac{2\sqrt{29}}{3} \). c) Tọa độ điểm M là \( \left( \frac{4}{3}; \frac{4}{3}; 6 \right) \). d) \( \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AA'} \).