b. ccchjkojgtđfbhtđ

Câu 1. a) Khoảng biến thiên là: $R = 28 - 10 = 18$ b) Số trung bình của mẫu số liệu là: Số trung bình = $\frac{(10 + 10 + 11 + 12 + 12 + 13 + 14,5 + 15 + 18 + 20 + 20 + 21 + 28)}{13}$ = $\frac{196,5}{13}$ ≈ 15,1 c) Khoảng tứ phân vị là: - Tìm Q1 (tứ phân vị thứ nhất): Dãy số đã sắp xếp: 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14,5, 15, 18, 20, 20, 21, 28 Vị trí của Q1 là $\frac{13+1}{4} = 3,5$, do đó Q1 nằm giữa 11 và 12, ta lấy trung bình hai số này: Q1 = $\frac{11 + 12}{2} = 11,5$ - Tìm Q3 (tứ phân vị thứ ba): Vị trí của Q3 là $\frac{3(13+1)}{4} = 10,5$, do đó Q3 nằm giữa 20 và 20, ta lấy trung bình hai số này: Q3 = $\frac{20 + 20}{2} = 20$ Khoảng tứ phân vị là: $\Delta Q = Q3 - Q1 = 20 - 11,5 = 8,5$ d) Trung vị là: Vị trí của trung vị là $\frac{13+1}{2} = 7$, do đó trung vị là số ở vị trí thứ 7 trong dãy số đã sắp xếp: Trung vị = 14,5 Đáp số: a) Khoảng biến thiên là: $R = 18$ b) Số trung bình của mẫu số liệu là: 15,1 c) Khoảng tứ phân vị là: $\Delta Q = 8,5$ d) Trung vị là: 14,5 Câu 2. a) Gọi x, y (đơn vị: triệu đồng) tiền bác Minh đầu tư vào kho X và Y ta có hệ bất phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x + y \leq 240 \\ y \geq 40 \\ x \geq 3y \end{array} \right. \] b) Để xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình, chúng ta vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình: - \(x + y = 240\) (đường thẳng đi qua điểm (240, 0) và (0, 240)) - \(y = 40\) (đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm (0, 40)) - \(x = 3y\) (đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc là 3) Miền nghiệm của hệ bất phương trình sẽ là phần giao của các miền thỏa mãn từng bất phương trình. Khi vẽ các đường thẳng này, ta thấy rằng miền nghiệm là một tứ giác. c) Điểm \(A(180, 60)\) nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình. Để kiểm tra, ta thay \(x = 180\) và \(y = 60\) vào các bất phương trình: - \(180 + 60 \leq 240\) (đúng) - \(60 \geq 40\) (đúng) - \(180 \geq 3 \times 60\) (đúng) Do đó, điểm \(A(180, 60)\) thuộc miền nghiệm và có tung độ lớn nhất trong miền nghiệm. d) Điểm \(C(200, 40)\) cũng nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình. Để kiểm tra, ta thay \(x = 200\) và \(y = 40\) vào các bất phương trình: - \(200 + 40 \leq 240\) (đúng) - \(40 \geq 40\) (đúng) - \(200 \geq 3 \times 40\) (đúng) Do đó, điểm \(C(200, 40)\) thuộc miền nghiệm. Tóm lại: - Điểm \(A(180, 60)\) là điểm có tung độ lớn nhất thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. - Điểm \(C(200, 40)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC - Điểm \( A \) có tọa độ \( (2, -1) \). - Điểm \( B \) có tọa độ \( (1, 1) \). - Điểm \( C \) có tọa độ \( (4, 1) \). Bước 2: Tìm điểm \( D \) sao cho \( ABCD \) là hình bình hành Trong hình bình hành, vectơ \( \overrightarrow{AD} \) bằng vectơ \( \overrightarrow{BC} \). Tính \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{BC} = (4 - 1, 1 - 1) = (3, 0) \] Tính \( \overrightarrow{AD} \): \[ \overrightarrow{AD} = (x_D - 2, y_D + 1) \] Vì \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \), ta có: \[ (x_D - 2, y_D + 1) = (3, 0) \] Từ đây suy ra: \[ x_D - 2 = 3 \Rightarrow x_D = 5 \] \[ y_D + 1 = 0 \Rightarrow y_D = -1 \] Vậy tọa độ của điểm \( D \) là \( (5, -1) \). Bước 3: Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \) \[ \overrightarrow{AB} = (1 - 2, 1 + 1) = (-1, 2) \] Bước 4: Tìm tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ: \[ G \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) \] Thay tọa độ của \( A \), \( B \), và \( C \): \[ G \left( \frac{2 + 1 + 4}{3}, \frac{-1 + 1 + 1}{3} \right) = G \left( \frac{7}{3}, \frac{1}{3} \right) \] Kết luận: a) Điểm \( D \) sao cho \( ABCD \) là hình bình hành nên \( D(5, -1) \). b) \( \overrightarrow{AB} = (-1, 2) \). c) Trọng tâm \( G \) của \( \Delta ABC \) nên \( G \left( \frac{7}{3}, \frac{1}{3} \right) \). d) \( A(2, -1) \), \( B(1, 1) \), \( C(4, 1) \). Đáp số: a) \( D(5, -1) \) b) \( \overrightarrow{AB} = (-1, 2) \) c) \( G \left( \frac{7}{3}, \frac{1}{3} \right) \) d) \( A(2, -1) \), \( B(1, 1) \), \( C(4, 1) \) Câu 4. Trước tiên, ta cần xác định góc B của tam giác ABC: \[ \widehat{B} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{C} = 180^\circ - 135^\circ - 15^\circ = 30^\circ \] Sử dụng Định lý Sin trong tam giác ABC: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Ta tính cạnh a: \[ \frac{a}{\sin 135^\circ} = \frac{12}{\sin 30^\circ} \] Biết rằng \(\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) và \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\): \[ \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12}{\frac{1}{2}} \] \[ a = 12 \times \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 12 \times \sqrt{2} = 12\sqrt{2} \] Tiếp theo, ta tính cạnh c: \[ \frac{c}{\sin 15^\circ} = \frac{12}{\sin 30^\circ} \] Biết rằng \(\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\): \[ \frac{c}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{12}{\frac{1}{2}} \] \[ c = 12 \times \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = 12 \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \] Kết luận: a) \(a = 12\sqrt{2}\) b) \(c = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})\)