Trả lời câu

Câu 13: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định tính đúng sai của chúng dựa vào đồ thị của hàm số. a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$: - Từ đồ thị, ta thấy rằng từ $x=0$ đến $x=2$, giá trị của hàm số tăng dần. Do đó, phát biểu này là đúng. b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=-1$: - Từ đồ thị, ta thấy rằng tại điểm $x=-1$, giá trị của hàm số giảm xuống và sau đó tăng lên. Điều này cho thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=-1$. Do đó, phát biểu này là đúng. c) Phương trình $f(x)=2$ có ba nghiệm: - Từ đồ thị, ta thấy rằng đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị của hàm số tại ba điểm khác nhau. Điều này cho thấy phương trình $f(x)=2$ có ba nghiệm. Do đó, phát biểu này là đúng. d) Phương trình $f(f(x))=4$ có sáu nghiệm: - Để xác định số nghiệm của phương trình $f(f(x))=4$, ta cần xem xét các giá trị của $x$ sao cho $f(x)$ bằng các giá trị mà làm cho $f(y)=4$. Từ đồ thị, ta thấy rằng phương trình $f(x)=4$ có ba nghiệm. Tuy nhiên, mỗi nghiệm của phương trình $f(x)=4$ sẽ tạo ra ba nghiệm của phương trình $f(f(x))=4$. Do đó, tổng cộng sẽ có $3 \times 2 = 6$ nghiệm. Do đó, phát biểu này là đúng. Kết luận: - Phát biểu a) là đúng. - Phát biểu b) là đúng. - Phát biểu c) là đúng. - Phát biểu d) là đúng. Đáp án: a, b, c, d Câu 14. a) Ta thấy rằng hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; +\infty)$. Điều này đúng vì theo bảng biến thiên, khi $x$ tăng từ 1 đến $+\infty$, giá trị của $y$ giảm dần. Do đó, khẳng định này là đúng. b) Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[4; 10]$, ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và các điểm cực trị trong đoạn này. Theo bảng biến thiên, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 10$. Do đó, $\max_{x \in [4; 10]} y = f(10)$. Khẳng định này là đúng. c) Ta biết rằng đường tiệm cận đứng của hàm số $y = \frac{ax - 1}{x + b}$ là $x = -b$. Theo bảng biến thiên, đường tiệm cận đứng là $x = -1$. Do đó, $-b = -1 \Rightarrow b = 1$. Tiếp theo, ta cần tìm giá trị của $a$. Ta biết rằng đường tiệm cận ngang của hàm số là $y = a$. Theo bảng biến thiên, đường tiệm cận ngang là $y = -2$. Do đó, $a = -2$. Vậy $a + b = -2 + 1 = -1$. Khẳng định này là sai. d) Để tìm số giá trị của tham số $m$ sao cho đường thẳng $y = -x + m$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm $A$ và $B$ mà $AB = \sqrt{10}$, ta cần giải phương trình hoán vị giữa đường thẳng và hàm số. Phương trình hoán vị: \[ -x + m = \frac{-2x - 1}{x + 1} \] Nhân cả hai vế với $(x + 1)$: \[ -x(x + 1) + m(x + 1) = -2x - 1 \] \[ -x^2 - x + mx + m = -2x - 1 \] \[ -x^2 + (m - 1)x + m + 1 = 0 \] Để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm, phương trình này phải có hai nghiệm thực phân biệt. Điều kiện này tương đương với: \[ (m - 1)^2 - 4(-1)(m + 1) > 0 \] \[ (m - 1)^2 + 4(m + 1) > 0 \] \[ m^2 - 2m + 1 + 4m + 4 > 0 \] \[ m^2 + 2m + 5 > 0 \] Phương trình $m^2 + 2m + 5 = 0$ có biệt số: \[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0 \] Do đó, $m^2 + 2m + 5 > 0$ luôn đúng với mọi $m$. Điều này có nghĩa là phương trình luôn có hai nghiệm thực phân biệt. Tiếp theo, ta cần đảm bảo rằng khoảng cách giữa hai điểm giao là $\sqrt{10}$. Ta sẽ tính khoảng cách giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x_1 + x_2 = -(m - 1) \] \[ x_1 x_2 = -(m + 1) \] Khoảng cách giữa hai điểm giao: \[ AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \] \[ = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + ((-x_1 + m) - (-x_2 + m))^2} \] \[ = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_1)^2} \] \[ = \sqrt{2(x_1 - x_2)^2} \] \[ = \sqrt{2((x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2)} \] \[ = \sqrt{2((-(m - 1))^2 - 4(-(m + 1)))} \] \[ = \sqrt{2((m - 1)^2 + 4(m + 1))} \] \[ = \sqrt{2(m^2 - 2m + 1 + 4m + 4)} \] \[ = \sqrt{2(m^2 + 2m + 5)} \] Ta cần: \[ \sqrt{2(m^2 + 2m + 5)} = \sqrt{10} \] \[ 2(m^2 + 2m + 5) = 10 \] \[ m^2 + 2m + 5 = 5 \] \[ m^2 + 2m = 0 \] \[ m(m + 2) = 0 \] Vậy $m = 0$ hoặc $m = -2$. Do đó, có 2 giá trị của tham số $m$ thỏa mãn điều kiện. Khẳng định này là đúng. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng. Câu 15. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Quảng đường di chuyển của máy bay từ A đến B Quảng đường di chuyển của máy bay từ điểm \( A(800; 500; 7) \) đến điểm \( B(940; 550; 8) \) được tính bằng khoảng cách giữa hai điểm này trong không gian. Khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) trong không gian được tính bằng công thức: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào bài toán: \[ d = \sqrt{(940 - 800)^2 + (550 - 500)^2 + (8 - 7)^2} \] \[ d = \sqrt{140^2 + 50^2 + 1^2} \] \[ d = \sqrt{19600 + 2500 + 1} \] \[ d = \sqrt{22101} \] \[ d \approx 148.66 \text{ km} \] Vậy quảng đường di chuyển của máy bay từ A đến B là 149 km (làm tròn đến hàng đơn vị). Phần b) Độ cao của máy bay tại vị trí A Độ cao của máy bay tại vị trí A là tọa độ z của điểm A, tức là 7 km. Phần c) Độ cao lớn nhất của máy bay sau 10 phút tiếp theo Máy bay di chuyển với vận tốc không đổi và tạo với phương nằm ngang một góc \( 30^\circ \). Độ cao tăng thêm mỗi phút là: \[ \Delta h = v \sin(30^\circ) \times \frac{1}{60} \] Trong 10 phút, độ cao tăng thêm: \[ \Delta h_{10} = v \sin(30^\circ) \times \frac{10}{60} = v \sin(30^\circ) \times \frac{1}{6} \] Từ A đến B, máy bay đã di chuyển 149 km trong 10 phút, vậy vận tốc của máy bay là: \[ v = \frac{149 \text{ km}}{10 \text{ phút}} = 14.9 \text{ km/phút} \] Do đó, độ cao tăng thêm trong 10 phút tiếp theo là: \[ \Delta h_{10} = 14.9 \times \sin(30^\circ) \times \frac{1}{6} \] \[ \Delta h_{10} = 14.9 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} \] \[ \Delta h_{10} = 14.9 \times \frac{1}{12} \] \[ \Delta h_{10} \approx 1.24 \text{ km} \] Độ cao lớn nhất của máy bay sau 10 phút tiếp theo là: \[ h_{\text{max}} = 7 + 1.24 = 8.24 \text{ km} \] Phần d) Tọa độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Radar Sau 15 phút, máy bay đã di chuyển tổng cộng: \[ d_{15} = 14.9 \times 15 = 223.5 \text{ km} \] Phần lớn nhất của quãng đường này là trên phương nằm ngang: \[ d_x = d_{15} \cos(30^\circ) \] \[ d_x = 223.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ d_x \approx 192.6 \text{ km} \] Phần còn lại là chiều cao: \[ d_z = d_{15} \sin(30^\circ) \] \[ d_z = 223.5 \times \frac{1}{2} \] \[ d_z \approx 111.75 \text{ km} \] Tọa độ mới của máy bay sau 15 phút là: \[ x_{\text{new}} = 800 + 192.6 = 992.6 \text{ km} \] \[ y_{\text{new}} = 500 + 0 = 500 \text{ km} \] \[ z_{\text{new}} = 7 + 111.75 = 118.75 \text{ km} \] Vậy tọa độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Radar là (993; 500; 119) (làm tròn đến hàng đơn vị). Kết luận: - a) Quảng đường di chuyển của máy bay từ A đến B là 149 km. - b) Độ cao của máy bay tại vị trí A là 7 km. - c) Sau 10 phút tiếp theo máy bay sẽ đạt độ cao lớn nhất là 8.24 km. - d) Tọa độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Radar là (993; 500; 119). Câu 16. a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[ 300 - 50 = 250 \text{ (km)} \] b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Trong đó, \( f_i \) là tần số của nhóm thứ i và \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ i. Tính giá trị trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm [50; 100): \( x_1 = \frac{50 + 100}{2} = 75 \) - Nhóm [100; 150): \( x_2 = \frac{100 + 150}{2} = 125 \) - Nhóm [150; 200): \( x_3 = \frac{150 + 200}{2} = 175 \) - Nhóm [200; 250): \( x_4 = \frac{200 + 250}{2} = 225 \) - Nhóm [250; 300): \( x_5 = \frac{250 + 300}{2} = 275 \) Tính tổng số ngày: \[ \sum_{i=1}^{n} f_i = 5 + 10 + 9 + 4 + 2 = 30 \] Tính tổng \( f_i x_i \): \[ \sum_{i=1}^{n} f_i x_i = 5 \times 75 + 10 \times 125 + 9 \times 175 + 4 \times 225 + 2 \times 275 \] \[ = 375 + 1250 + 1575 + 900 + 550 = 4650 \] Số trung bình: \[ \bar{x} = \frac{4650}{30} = 155 \] c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng: \[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i}} \] Tính \( (x_i - \bar{x})^2 \): - Nhóm [50; 100): \( (75 - 155)^2 = (-80)^2 = 6400 \) - Nhóm [100; 150): \( (125 - 155)^2 = (-30)^2 = 900 \) - Nhóm [150; 200): \( (175 - 155)^2 = 20^2 = 400 \) - Nhóm [200; 250): \( (225 - 155)^2 = 70^2 = 4900 \) - Nhóm [250; 300): \( (275 - 155)^2 = 120^2 = 14400 \) Tính tổng \( f_i (x_i - \bar{x})^2 \): \[ \sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 5 \times 6400 + 10 \times 900 + 9 \times 400 + 4 \times 4900 + 2 \times 14400 \] \[ = 32000 + 9000 + 3600 + 19600 + 28800 = 93000 \] Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{\frac{93000}{30}} = \sqrt{3100} \approx 55,68 \] d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng: \[ IQR = Q_3 - Q_1 \] Tìm \( Q_1 \) và \( Q_3 \): - \( Q_1 \) nằm ở nhóm [100; 150) vì \( \frac{30}{4} = 7,5 \) (từ ngày thứ 8 đến ngày thứ 17) - \( Q_3 \) nằm ở nhóm [150; 200) vì \( \frac{3 \times 30}{4} = 22,5 \) (từ ngày thứ 23 đến ngày thứ 30) Tính \( Q_1 \) và \( Q_3 \): \[ Q_1 = 100 + \frac{(7,5 - 5) \times (150 - 100)}{10} = 100 + \frac{2,5 \times 50}{10} = 100 + 12,5 = 112,5 \] \[ Q_3 = 150 + \frac{(22,5 - 15) \times (200 - 150)}{9} = 150 + \frac{7,5 \times 50}{9} = 150 + 41,67 = 191,67 \] Khoảng tứ phân vị: \[ IQR = 191,67 - 112,5 = 79,17 \] Đáp số: a) 250 (km) b) 155 c) 55,68 d) 79,17