Giúp tớ trắc nghiệm vs ạ

Câu 1: Để xác định số đo góc lượng giác có tia đầu OA và tia cuối OM, chúng ta cần hiểu rằng M là điểm chính giữa của cung nhỏ A'B'. Trên đường tròn lượng giác, cung nhỏ A'B' có số đo là $\frac{\pi}{2}$ (từ $\frac{3\pi}{4}$ đến $\frac{7\pi}{4}$). Điểm M nằm chính giữa cung này, do đó số đo góc từ OA đến OM sẽ là: \[ \text{Số đo góc từ } OA \text{ đến } OM = \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2} \left( \frac{7\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} \right) \] Tính toán phần trong ngoặc trước: \[ \frac{7\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi \] Bây giờ, chia đôi đoạn này: \[ \frac{1}{2} \times \pi = \frac{\pi}{2} \] Thêm vào số đo ban đầu: \[ \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \] Do đó, số đo góc lượng giác có tia đầu OA và tia cuối OM là: \[ \frac{5\pi}{4} + k2\pi \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{5\pi}{4} + k2\pi$. Câu 2: Để tính $\cos 2\alpha$, ta sử dụng công thức nhân đôi: \[ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \] Biết rằng $\cos \alpha = \frac{-1}{4}$, ta thay vào công thức trên: \[ \cos 2\alpha = 2 \left( \frac{-1}{4} \right)^2 - 1 \] Tính bình phương của $\frac{-1}{4}$: \[ \left( \frac{-1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16} \] Thay vào công thức: \[ \cos 2\alpha = 2 \cdot \frac{1}{16} - 1 \] \[ \cos 2\alpha = \frac{2}{16} - 1 \] \[ \cos 2\alpha = \frac{1}{8} - 1 \] \[ \cos 2\alpha = \frac{1}{8} - \frac{8}{8} \] \[ \cos 2\alpha = \frac{1 - 8}{8} \] \[ \cos 2\alpha = \frac{-7}{8} \] Vậy $\cos 2\alpha = -\frac{7}{8}$. Do đó, đáp án đúng là: A. $-\frac{7}{8}$. Câu 3: Hàm số $y = \cos x$ là một hàm số tuần hoàn, nghĩa là nó lặp lại các giá trị của mình sau mỗi khoảng thời gian cố định gọi là chu kì. Chu kì của hàm số $y = \cos x$ là $2\pi$. Điều này có nghĩa là: \[ \cos(x + 2\pi) = \cos x \] Do đó, hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$. Đáp án đúng là: B. $2\pi$ Lập luận từng bước: 1. Hàm số $y = \cos x$ là hàm số tuần hoàn. 2. Chu kì của hàm số $y = \cos x$ là $2\pi$, tức là $\cos(x + 2\pi) = \cos x$. 3. Do đó, đáp án đúng là B. $2\pi$. Câu 4: Để xác định chu kì của hàm số \( y = 2\cos^2 x - 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng của hàm số. Hàm số \( y = 2\cos^2 x - 1 \) có dạng \( y = f(\cos x) \). Bước 2: Biến đổi hàm số về dạng cơ bản. Ta biết rằng \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \). Do đó: \[ y = 2 \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) - 1 \] \[ y = 1 + \cos 2x - 1 \] \[ y = \cos 2x \] Bước 3: Xác định chu kì của hàm số cơ bản. Hàm số \( y = \cos 2x \) có dạng \( y = \cos kx \), trong đó \( k = 2 \). Chu kì của hàm số \( y = \cos kx \) là \( T = \frac{2\pi}{k} \). Áp dụng vào bài toán: \[ T = \frac{2\pi}{2} = \pi \] Vậy chu kì của hàm số \( y = 2\cos^2 x - 1 \) là \( \pi \). Đáp án đúng là: A. \( T = \pi \). Câu 5: Phương trình $\sin x = 1$ có nghiệm là: A. $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ B. $x = \pi + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ C. $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ D. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ Lập luận từng bước: 1. Xác định giá trị của $x$ sao cho $\sin x = 1$. Ta biết rằng $\sin x = 1$ khi $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. 2. Kiểm tra các đáp án: - Đáp án A: $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi$. Điều này không đúng vì $\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, không phải 1. - Đáp án B: $x = \pi + k\pi$. Điều này không đúng vì $\sin \pi = 0$, không phải 1. - Đáp án C: $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$. Điều này không đúng vì $\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, không phải 1. - Đáp án D: $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$. Điều này đúng vì $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$. Vậy phương trình $\sin x = 1$ có nghiệm là $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$. Đáp án đúng là: D. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$. Câu 6: Phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ có nghiệm là: A. $\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = -\frac{2\pi}{3} + k\pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$ B. $\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$ C. $\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$ D. $\left[\begin{array}{l} x = -\frac{2\pi}{3} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$ Ta sẽ giải phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$. 1. Tìm các giá trị cơ bản của $x$: - Ta biết rằng $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. - Do tính chất của hàm cosin, ta cũng có $\cos (-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. 2. Xác định các nghiệm tổng quát: - Hàm cosin có chu kỳ là $2\pi$, do đó các nghiệm tổng quát của phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ là: \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 3. Kiểm tra lại các đáp án: - Đáp án A: $\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = -\frac{2\pi}{3} + k\pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$ - Sai vì chu kỳ của cosin là $2\pi$, không phải $\pi$. - Đáp án B: $\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$ - Đúng vì đúng theo chu kỳ của cosin là $2\pi$. - Đáp án C: $\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$ - Sai vì chu kỳ của cosin là $2\pi$, không phải $\pi$. - Đáp án D: $\left[\begin{array}{l} x = -\frac{2\pi}{3} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$ - Sai vì chu kỳ của cosin là $2\pi$, không phải $\pi$. Vậy đáp án đúng là: B. $\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$ Câu 7: Để xác định dãy số nào trong các lựa chọn là dãy số tăng, chúng ta cần kiểm tra xem \( u_{n+1} - u_n \) có lớn hơn 0 hay không. A. \( u_n = n^2 - n \) Ta tính \( u_{n+1} - u_n \): \[ u_{n+1} = (n+1)^2 - (n+1) = n^2 + 2n + 1 - n - 1 = n^2 + n \] \[ u_{n+1} - u_n = (n^2 + n) - (n^2 - n) = n^2 + n - n^2 + n = 2n \] Vì \( n > 0 \), nên \( 2n > 0 \). Do đó, \( u_{n+1} - u_n > 0 \), suy ra dãy số \( u_n = n^2 - n \) là dãy số tăng. B. \( u_n = 1 - n \) Ta tính \( u_{n+1} - u_n \): \[ u_{n+1} = 1 - (n+1) = 1 - n - 1 = -n \] \[ u_{n+1} - u_n = (-n) - (1 - n) = -n - 1 + n = -1 \] Vì \( -1 < 0 \), nên \( u_{n+1} - u_n < 0 \). Do đó, dãy số \( u_n = 1 - n \) là dãy số giảm. C. \( u_n = 1 - \frac{n}{2} \) Ta tính \( u_{n+1} - u_n \): \[ u_{n+1} = 1 - \frac{n+1}{2} = 1 - \frac{n}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{n}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1 - n}{2} \] \[ u_{n+1} - u_n = \left( \frac{1 - n}{2} \right) - \left( 1 - \frac{n}{2} \right) = \frac{1 - n}{2} - \frac{2 - n}{2} = \frac{1 - n - 2 + n}{2} = \frac{-1}{2} \] Vì \( \frac{-1}{2} < 0 \), nên \( u_{n+1} - u_n < 0 \). Do đó, dãy số \( u_n = 1 - \frac{n}{2} \) là dãy số giảm. D. \( u_n = n \) Ta tính \( u_{n+1} - u_n \): \[ u_{n+1} = n + 1 \] \[ u_{n+1} - u_n = (n + 1) - n = 1 \] Vì \( 1 > 0 \), nên \( u_{n+1} - u_n > 0 \). Do đó, dãy số \( u_n = n \) là dãy số tăng. Tóm lại, các dãy số tăng là: - \( u_n = n^2 - n \) - \( u_n = n \) Vậy đáp án đúng là: A. \( u_n = n^2 - n \) D. \( u_n = n \) Câu 8: Để xác định dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi số nào, chúng ta sẽ phân tích biểu thức $u_n = \frac{n-1}{n}$. 1. Phân tích biểu thức: \[ u_n = \frac{n-1}{n} = 1 - \frac{1}{n} \] 2. Xét giới hạn của $\frac{1}{n}$ khi $n$ tăng lên: - Khi $n$ càng lớn, $\frac{1}{n}$ càng nhỏ và tiến đến 0. - Do đó, $1 - \frac{1}{n}$ sẽ tiến đến 1 nhưng luôn nhỏ hơn 1. 3. Xác định chặn trên: - Ta thấy rằng $u_n < 1$ cho mọi $n \in \mathbb{D}^$. - Vì vậy, dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi số 1. Đáp án: C. 1. Câu 9: Để xác định dãy số nào là cấp số cộng, ta cần kiểm tra xem hiệu giữa hai số liên tiếp trong dãy có bằng nhau hay không. A. 13, 15, 16 - Hiệu giữa 15 và 13 là: 15 - 13 = 2 - Hiệu giữa 16 và 15 là: 16 - 15 = 1 Như vậy, dãy số này không phải là cấp số cộng vì các hiệu không bằng nhau. B. 1, 2, 3, 4 - Hiệu giữa 2 và 1 là: 2 - 1 = 1 - Hiệu giữa 3 và 2 là: 3 - 2 = 1 - Hiệu giữa 4 và 3 là: 4 - 3 = 1 Như vậy, dãy số này là cấp số cộng vì các hiệu đều bằng nhau (bằng 1). C. 6, 8, 10, 11 - Hiệu giữa 8 và 6 là: 8 - 6 = 2 - Hiệu giữa 10 và 8 là: 10 - 8 = 2 - Hiệu giữa 11 và 10 là: 11 - 10 = 1 Như vậy, dãy số này không phải là cấp số cộng vì các hiệu không bằng nhau. D. -6, 0, 7, 9 - Hiệu giữa 0 và -6 là: 0 - (-6) = 6 - Hiệu giữa 7 và 0 là: 7 - 0 = 7 - Hiệu giữa 9 và 7 là: 9 - 7 = 2 Như vậy, dãy số này không phải là cấp số cộng vì các hiệu không bằng nhau. Kết luận: Dãy số B (1, 2, 3, 4) là cấp số cộng.