Câu 1:<TH> Cho hai đường tròn và , . Xác định vị trí tương đối của chúng. Câu 2:<TH> Cho hai đường tròn và , , khi đó hai đường tròn có mấy tiếp tuyến chung ? Câu 3:<TH> Cho hai đường tròn và cắt nha...

Câu 1: Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, ta cần so sánh khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn với tổng và hiệu của bán kính của chúng. Gọi khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn là \(d\), bán kính của đường tròn thứ nhất là \(R\) và bán kính của đường tròn thứ hai là \(r\). Có ba trường hợp có thể xảy ra: 1. Nếu \(d > R + r\), hai đường tròn nằm ngoài nhau. 2. Nếu \(d = R + r\), hai đường tròn tiếp xúc ngoài. 3. Nếu \(|R - r| < d < R + r\), hai đường tròn cắt nhau. 4. Nếu \(d = |R - r|\), hai đường tròn tiếp xúc trong. 5. Nếu \(d < |R - r|\), đường tròn nhỏ nằm trong đường tròn lớn. Vì đề bài không cung cấp cụ thể các giá trị của \(d\), \(R\) và \(r\), ta sẽ giả sử các giá trị để minh họa từng trường hợp. Giả sử: - \(R = 5\) - \(r = 3\) Ta xét các trường hợp: 1. \(d = 9\): \(d > R + r\) (9 > 5 + 3 = 8), hai đường tròn nằm ngoài nhau. 2. \(d = 8\): \(d = R + r\) (8 = 5 + 3), hai đường tròn tiếp xúc ngoài. 3. \(d = 6\): \(|R - r| < d < R + r\) (2 < 6 < 8), hai đường tròn cắt nhau. 4. \(d = 2\): \(d = |R - r|\) (2 = 5 - 3), hai đường tròn tiếp xúc trong. 5. \(d = 1\): \(d < |R - r|\) (1 < 2), đường tròn nhỏ nằm trong đường tròn lớn. Tóm lại, để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, ta cần biết khoảng cách giữa tâm của chúng và so sánh với tổng và hiệu của bán kính của chúng. Câu 2: Để xác định số lượng tiếp tuyến chung giữa hai đường tròn, chúng ta cần xem xét vị trí tương đối của hai đường tròn. Cụ thể, chúng ta sẽ kiểm tra khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn và so sánh nó với tổng và hiệu của bán kính của hai đường tròn. Giả sử hai đường tròn có tâm lần lượt là \( O_1 \) và \( O_2 \), bán kính lần lượt là \( R_1 \) và \( R_2 \), và khoảng cách giữa hai tâm là \( d \). Các trường hợp có thể xảy ra: 1. Hai đường tròn nằm ngoài nhau: - Nếu \( d > R_1 + R_2 \): Hai đường tròn có 4 tiếp tuyến chung (2 tiếp tuyến chung bên ngoài và 2 tiếp tuyến chung bên trong). 2. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài: - Nếu \( d = R_1 + R_2 \): Hai đường tròn có 3 tiếp tuyến chung (2 tiếp tuyến chung bên ngoài và 1 tiếp tuyến chung bên trong). 3. Hai đường tròn cắt nhau: - Nếu \( |R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2 \): Hai đường tròn có 2 tiếp tuyến chung (cả hai đều là tiếp tuyến chung bên ngoài). 4. Hai đường tròn tiếp xúc trong: - Nếu \( d = |R_1 - R_2| \): Hai đường tròn có 1 tiếp tuyến chung (tiếp tuyến chung bên ngoài). 5. Hai đường tròn nằm trong nhau: - Nếu \( d < |R_1 - R_2| \): Hai đường tròn không có tiếp tuyến chung nào. Do đó, để xác định số lượng tiếp tuyến chung giữa hai đường tròn, chúng ta cần biết khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn và so sánh nó với tổng và hiệu của bán kính của hai đường tròn. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố đã biết và chưa biết: - Hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại điểm $A$ và $B$. - Đường thẳng $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O')$ tại điểm $A$. - Cần tìm độ dài dây $AB$. 2. Áp dụng các kiến thức về tiếp tuyến và dây cung: - Vì $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O')$ tại điểm $A$, nên $O'A \perp AB$. - Do đó, $O'A$ là bán kính của đường tròn $(O')$ và vuông góc với $AB$ tại điểm $A$. 3. Xác định tâm và bán kính của các đường tròn: - Gọi tâm của đường tròn $(O)$ là $O$ và bán kính là $R$. - Gọi tâm của đường tròn $(O')$ là $O'$ và bán kính là $r$. 4. Xác định vị trí của các điểm: - Điểm $A$ là điểm chung của hai đường tròn và cũng là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến $AB$ với đường tròn $(O')$. - Điểm $B$ là điểm khác của giao của hai đường tròn. 5. Tính độ dài dây $AB$: - Vì $O'A \perp AB$, nên đoạn thẳng $AB$ là dây cung của đường tròn $(O)$ và cũng là dây cung của đường tròn $(O')$. - Độ dài dây cung $AB$ có thể được tính bằng công thức liên quan đến bán kính và khoảng cách từ tâm đến dây cung. 6. Áp dụng công thức tính độ dài dây cung: - Độ dài dây cung $AB$ của đường tròn $(O)$ là: \[ AB = 2 \sqrt{R^2 - O'A^2} \] - Vì $O'A$ là bán kính của đường tròn $(O')$, nên $O'A = r$. - Thay vào công thức, ta có: \[ AB = 2 \sqrt{R^2 - r^2} \] 7. Kết luận: - Độ dài dây $AB$ là: \[ AB = 2 \sqrt{R^2 - r^2} \] Vậy, độ dài dây $AB$ là $2 \sqrt{R^2 - r^2}$. Câu 4. Để xác định số lượng tiếp tuyến chung giữa hai đường tròn, chúng ta cần xem xét vị trí tương đối của hai đường tròn. Cụ thể, chúng ta sẽ kiểm tra khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn và so sánh nó với tổng và hiệu của bán kính của hai đường tròn. Giả sử hai đường tròn có tâm lần lượt là \( O_1 \) và \( O_2 \), bán kính lần lượt là \( R_1 \) và \( R_2 \), và khoảng cách giữa hai tâm là \( d \). Các trường hợp có thể xảy ra: 1. Hai đường tròn nằm ngoài nhau: - Nếu \( d > R_1 + R_2 \): Hai đường tròn có 4 tiếp tuyến chung (2 tiếp tuyến chung bên ngoài và 2 tiếp tuyến chung bên trong). 2. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài: - Nếu \( d = R_1 + R_2 \): Hai đường tròn có 3 tiếp tuyến chung (2 tiếp tuyến chung bên ngoài và 1 tiếp tuyến chung bên trong). 3. Hai đường tròn cắt nhau: - Nếu \( |R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2 \): Hai đường tròn có 2 tiếp tuyến chung (cả hai đều là tiếp tuyến chung bên ngoài). 4. Hai đường tròn tiếp xúc trong: - Nếu \( d = |R_1 - R_2| \): Hai đường tròn có 1 tiếp tuyến chung (tiếp tuyến chung bên ngoài). 5. Hai đường tròn nằm trong nhau: - Nếu \( d < |R_1 - R_2| \): Hai đường tròn không có tiếp tuyến chung nào. Do đó, để xác định số lượng tiếp tuyến chung giữa hai đường tròn, chúng ta cần biết khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn và so sánh nó với tổng và hiệu của bán kính của hai đường tròn. Câu 5. Để hai đường tròn tiếp xúc ngoài, khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn phải bằng tổng bán kính của chúng. Gọi bán kính của đường tròn thứ nhất là \( R \) và bán kính của đường tròn thứ hai là \( r \). Khi hai đường tròn tiếp xúc ngoài, ta có: \[ d = R + r \] Trong bài này, khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn là \( d = 10 \) cm. Do đó, để hai đường tròn tiếp xúc ngoài, ta cần: \[ R + r = 10 \] Vậy, để hai đường tròn tiếp xúc ngoài, tổng của bán kính \( R \) và \( r \) phải bằng 10 cm. Câu 6. Để hai đường tròn tiếp xúc trong, khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn phải bằng hiệu bán kính của chúng. Khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn là \(d\), bán kính của đường tròn thứ nhất là \(R\) và bán kính của đường tròn thứ hai là \(r\). Điều kiện để hai đường tròn tiếp xúc trong là: \[ d = R - r \] Vì \(d = 5\) cm, ta có: \[ 5 = R - r \] Do đó, để hai đường tròn tiếp xúc trong, ta cần: \[ R - r = 5 \] Vậy, \(R\) và \(r\) phải thỏa mãn điều kiện trên. Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức tính độ dài dây cung của một đường tròn khi biết bán kính và khoảng cách từ tâm đến dây cung. Bước 1: Xác định bán kính của hai đường tròn và khoảng cách từ tâm đến dây chung. Bước 2: Áp dụng công thức tính độ dài dây cung: \[ AB = 2 \sqrt{R^2 - d^2} \] Trong đó: - \( R \) là bán kính của đường tròn. - \( d \) là khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây cung. Bước 3: Thay các giá trị đã biết vào công thức để tính độ dài dây cung. Giả sử bán kính của hai đường tròn là \( R_1 \) và \( R_2 \), và khoảng cách từ tâm đến dây chung là \( d \). Do hai đường tròn cắt nhau tại điểm \( A \) và \( B \), nên độ dài dây chung \( AB \) sẽ là: \[ AB = 2 \sqrt{R_1^2 - d^2} \] Vậy, độ dài dây chung \( AB \) là: \[ AB = 2 \sqrt{R_1^2 - d^2} \] Đáp số: Độ dài dây chung \( AB \) là \( 2 \sqrt{R_1^2 - d^2} \). Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về đường tròn và góc nội tiếp. 1. Xác định các yếu tố đã biết: - Đường tròn $(O)$ tiếp xúc ngoài với đường tròn $(O')$ tại điểm $A$. - Các bán kính $OA$ và $O'A$ song song với nhau. - Gọi $B$ là giao điểm của $OA$ và $O'A$. 2. Phân tích hình học: - Vì $OA$ và $O'A$ song song với nhau, nên tam giác $OO'A$ là tam giác cân tại $O'$. - Do đó, $\angle OAO' = \angle OO'A$. 3. Tính số đo góc: - Vì $OA$ và $O'A$ là bán kính của hai đường tròn và chúng song song, nên góc giữa chúng là góc giữa hai đường thẳng song song, tức là góc bằng 0° hoặc 180°. - Tuy nhiên, do chúng nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ $OA$, góc giữa chúng là 0°. 4. Kết luận: - Số đo góc $\angle OAO'$ là 0°. Đáp số: $\angle OAO' = 0^\circ$. Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về đường tròn và góc nội tiếp. 1. Xác định các điểm tiếp xúc và vẽ sơ đồ: - Các đường tròn \(O_1\), \(O_2\), và \(O_3\) tiếp xúc với nhau đôi một. - Đường tròn \(O_1\) và \(O_2\) tiếp xúc tại điểm \(A\). - Đường tròn \(O_3\) tiếp xúc với đường tròn \(O_1\) tại điểm \(B\) và với đường tròn \(O_2\) tại điểm \(C\). 2. Xác định các góc nội tiếp: - Vì các đường tròn tiếp xúc với nhau, nên các điểm tiếp xúc tạo thành các tam giác đều. - Góc nội tiếp giữa các đường tròn \(O_1\) và \(O_2\) tại điểm \(A\) là \(60^\circ\) (vì tam giác đều có các góc bằng \(60^\circ\)). - Góc nội tiếp giữa các đường tròn \(O_1\) và \(O_3\) tại điểm \(B\) cũng là \(60^\circ\). - Góc nội tiếp giữa các đường tròn \(O_2\) và \(O_3\) tại điểm \(C\) cũng là \(60^\circ\). 3. Tính góc \(O_1AO_2\): - Góc \(O_1AO_2\) là góc giữa hai bán kính của các đường tròn \(O_1\) và \(O_2\) tại điểm tiếp xúc \(A\). - Vì tam giác \(O_1AO_2\) là tam giác đều, nên góc \(O_1AO_2\) là \(60^\circ\). 4. Tính góc \(O_1BO_3\): - Góc \(O_1BO_3\) là góc giữa hai bán kính của các đường tròn \(O_1\) và \(O_3\) tại điểm tiếp xúc \(B\). - Vì tam giác \(O_1BO_3\) là tam giác đều, nên góc \(O_1BO_3\) là \(60^\circ\). 5. Tính góc \(O_2CO_3\): - Góc \(O_2CO_3\) là góc giữa hai bán kính của các đường tròn \(O_2\) và \(O_3\) tại điểm tiếp xúc \(C\). - Vì tam giác \(O_2CO_3\) là tam giác đều, nên góc \(O_2CO_3\) là \(60^\circ\). 6. Tính tổng các góc: - Tổng các góc \(O_1AO_2\), \(O_1BO_3\), và \(O_2CO_3\) là: \[ 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ \] Vậy, góc \(O_1AO_2\) là \(60^\circ\). Đáp số: \(60^\circ\).