cho đường tròn (O;R) và dây AB khác đường kính. Kẻ OI vuông góc với AB tại I, tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng OI tại M. a) chứng minh OI.OM=R^2 b) chứng minh MB là tiếp tuyến của (O...

a) Ta có \(OA \perp AM\) (tiếp tuyến vuông góc bán kính) \(OI \perp AB\) Xét tam giác \(OAM\) và \(OIA\): - \(OA\) chung - \(\angle OAM = \angle OIA = 90^\circ\) - \(\angle OMA = \angle OAI\) (góc giữa tia chung và hai tia còn lại) Do đó, tam giác \(OAM\) đồng dạng với tam giác \(OIA\) (g.g) Từ đó ta có: \[ \frac{OA}{OI} = \frac{OM}{OA} \] \[ OA^2 = OI \cdot OM \] Mà \(OA = R\), nên: \[ R^2 = OI \cdot OM \] b) Ta có \(OA \perp AM\) (tiếp tuyến vuông góc bán kính) Xét tam giác \(OAM\) và \(OBM\): - \(OA = OB = R\) (bán kính) - \(OI \perp AB\) (gt) - \(OI \cdot OM = R^2\) (chứng minh ở phần a) Do đó, tam giác \(OAM\) đồng dạng với tam giác \(OBM\) (cạnh huyền và cạnh góc vuông) Từ đó ta có: \[ \angle OBM = \angle OAM = 90^\circ \] Vậy \(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) (tiếp tuyến vuông góc bán kính) Xét tứ giác \(ABMO\): - \(\angle OAM = 90^\circ\) (tiếp tuyến vuông góc bán kính) - \(\angle OBM = 90^\circ\) (chứng minh trên) Do đó, tứ giác \(ABMO\) nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°) c) Ta có \(AD\) là đường kính của đường tròn \((O)\) Xét tam giác \(AND\) và \(AMD\): - \(AD\) chung - \(\angle AND = \angle AMD = 90^\circ\) (tiếp tuyến vuông góc bán kính) - \(\angle DAN = \angle DAM\) (góc giữa tia chung và hai tia còn lại) Do đó, tam giác \(AND\) đồng dạng với tam giác \(AMD\) (g.g) Từ đó ta có: \[ \frac{AN}{AD} = \frac{AD}{AM} \] \[ AN \cdot AM = AD^2 \] Mà \(AD = 2R\), nên: \[ AN \cdot AM = (2R)^2 = 4R^2 \] Ta cũng có \(OI \cdot OM = R^2\) (chứng minh ở phần a) Do đó: \[ \frac{AN \cdot AM}{OI \cdot OM} = \frac{4R^2}{R^2} = 4 \] Xét tam giác \(ANO\) và \(AMO\): - \(AN \cdot AM = 4 \cdot OI \cdot OM\) - \(AO\) chung - \(\angle OAN = \angle OAM\) (góc giữa tia chung và hai tia còn lại) Do đó, tam giác \(ANO\) đồng dạng với tam giác \(AMO\) (cạnh huyền và cạnh góc vuông) Từ đó ta có: \[ \angle ANO = \angle AMO \] Mà \(\angle AMO = 90^\circ\) (tiếp tuyến vuông góc bán kính) Do đó, \(\angle ANO = 90^\circ\) Vậy \(MD \perp NO\) (tiếp tuyến vuông góc bán kính)