tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\left(2x-5\right)^2 - \left(15-6x\right)^2$-$\left|x-y-11\right|$+2024

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = (2x-5)^2 - (15-6x)^2 - |x-y-11| + 2024\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức: \(A = (2x-5)^2 - (15-6x)^2 - |x-y-11| + 2024\) 2. Áp dụng hằng đẳng thức: Ta nhận thấy rằng \((2x-5)^2\) và \((15-6x)^2\) đều là các bình phương, do đó chúng ta có thể sử dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \[ (2x-5)^2 - (15-6x)^2 = [(2x-5) - (15-6x)][(2x-5) + (15-6x)] \] \[ = (2x-5-15+6x)(2x-5+15-6x) \] \[ = (8x-20)(10-4x) \] 3. Tìm giá trị lớn nhất của \(|x-y-11|\): Biểu thức \(|x-y-11|\) luôn luôn không âm, tức là \(|x-y-11| \geq 0\). Do đó, để giá trị của biểu thức \(A\) lớn nhất, ta cần \(|x-y-11| = 0\), tức là \(x-y-11 = 0\) hoặc \(x = y + 11\). 4. Thay vào biểu thức: Thay \(x = y + 11\) vào biểu thức: \[ A = (2(y+11)-5)^2 - (15-6(y+11))^2 - |(y+11)-y-11| + 2024 \] \[ = (2y+22-5)^2 - (15-6y-66)^2 - |0| + 2024 \] \[ = (2y+17)^2 - (-6y-51)^2 + 2024 \] \[ = (2y+17)^2 - (6y+51)^2 + 2024 \] 5. Áp dụng hằng đẳng thức một lần nữa: \[ (2y+17)^2 - (6y+51)^2 = [(2y+17) - (6y+51)][(2y+17) + (6y+51)] \] \[ = (2y+17-6y-51)(2y+17+6y+51) \] \[ = (-4y-34)(8y+68) \] \[ = -4(y+8.5) \cdot 8(y+8.5) \] \[ = -32(y+8.5)^2 \] 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Biểu thức \(-32(y+8.5)^2\) luôn luôn không dương, tức là \(-32(y+8.5)^2 \leq 0\). Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức này là 0, đạt được khi \(y = -8.5\). 7. Kết luận: Khi \(y = -8.5\) và \(x = y + 11 = -8.5 + 11 = 2.5\), biểu thức \(A\) đạt giá trị lớn nhất: \[ A = 0 + 2024 = 2024 \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là 2024, đạt được khi \(x = 2.5\) và \(y = -8.5\).