Giup monh voii

Câu 1: Để tìm khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x - 2025 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \left( -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x - 2025 \right)' = -x^2 + 2x + 3 \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: Ta giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ -x^2 + 2x + 3 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] \[ x_1 = 3, \quad x_2 = -1 \] 3. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định: - Khi \( x < -1 \), chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) + 3 = -4 - 4 + 3 = -5 < 0 \] - Khi \( -1 < x < 3 \), chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = -(0)^2 + 2(0) + 3 = 3 > 0 \] - Khi \( x > 3 \), chọn \( x = 4 \): \[ f'(4) = -(4)^2 + 2(4) + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 < 0 \] 4. Kết luận khoảng đồng biến: Hàm số \( f(x) \) đồng biến khi \( f'(x) > 0 \). Từ các xét dấu trên, ta thấy \( f'(x) > 0 \) trong khoảng \( (-1, 3) \). Vậy khoảng đồng biến của hàm số là \( (-1, 3) \). Đáp án đúng là: C. \( (-1; 3) \) Câu 2: Để xác định hàm số của đường cong đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một để xem nó có thỏa mãn các đặc điểm của đồ thị không. 1. Kiểm tra hàm số \( y = \frac{x + 2}{x - 1} \): - Tiệm cận đứng: \( x = 1 \) - Tiệm cận ngang: \( y = 1 \) - Đồ thị đi qua điểm \( (0, -2) \) 2. Kiểm tra hàm số \( y = \frac{x - 2}{x + 1} \): - Tiệm cận đứng: \( x = -1 \) - Tiệm cận ngang: \( y = 1 \) - Đồ thị đi qua điểm \( (0, -2) \) 3. Kiểm tra hàm số \( y = \frac{x - 2}{x - 1} \): - Tiệm cận đứng: \( x = 1 \) - Tiệm cận ngang: \( y = 1 \) - Đồ thị đi qua điểm \( (0, 2) \) 4. Kiểm tra hàm số \( y = \frac{x + 2}{x - 2} \): - Tiệm cận đứng: \( x = 2 \) - Tiệm cận ngang: \( y = 1 \) - Đồ thị đi qua điểm \( (0, -1) \) So sánh các đặc điểm trên với đồ thị đã cho, ta thấy rằng đồ thị đi qua điểm \( (0, -2) \) và có tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). Do đó, hàm số đúng là: \[ y = \frac{x - 2}{x + 1} \] Vậy đáp án đúng là: B. \( y = \frac{x - 2}{x + 1} \) Câu 3: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = -x^4 + 2x^2 + 2025 \) trên đoạn [0;2025], ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 2025) = -4x^3 + 4x \] 2. Tìm các điểm cực trị: \[ y' = 0 \] \[ -4x^3 + 4x = 0 \] \[ 4x(-x^2 + 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad -x^2 + 1 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 1 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Trong đoạn [0;2025], ta chỉ quan tâm đến các giá trị \( x = 0 \) và \( x = 1 \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = -(0)^4 + 2(0)^2 + 2025 = 2025 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = -(1)^4 + 2(1)^2 + 2025 = -1 + 2 + 2025 = 2026 \] - Tại \( x = 2025 \): \[ y(2025) = -(2025)^4 + 2(2025)^2 + 2025 \] Do \( (2025)^4 \) là một số rất lớn, nên \( y(2025) \) sẽ là một số âm rất lớn. 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: - \( y(0) = 2025 \) - \( y(1) = 2026 \) - \( y(2025) \) là một số âm rất lớn. Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2025] là 2026, đạt được khi \( x = 1 \). Đáp án: C. f(1) Giá trị lớn nhất của hàm số là 2026, đạt được khi \( x = 1 \). Câu 4: Để tìm giá trị lớn nhất (M) và nhỏ nhất (m) của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([0;3]\), ta cần xem xét giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn. Từ đồ thị, ta thấy: - Tại \( x = 0 \), giá trị của hàm số là \( f(0) = 1 \). - Tại \( x = 1 \), giá trị của hàm số là \( f(1) = 3 \). - Tại \( x = 2 \), giá trị của hàm số là \( f(2) = -1 \). - Tại \( x = 3 \), giá trị của hàm số là \( f(3) = 2 \). So sánh các giá trị này: - Giá trị lớn nhất (M) của hàm số trên đoạn \([0;3]\) là \( f(1) = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số trên đoạn \([0;3]\) là \( f(2) = -1 \). Vậy, giá trị của \( M + m \) là: \[ M + m = 3 + (-1) = 2 \] Đáp án đúng là: C. 2.