Giup minh voiii

Câu 6: Để xác định hàm số của đường cong đã cho, ta sẽ kiểm tra từng phương án một. Phương án A: \( y = \frac{2x + 1}{x - 1} \) - Tìm giao điểm với trục \( Oy \): Thay \( x = 0 \) vào phương trình: \[ y = \frac{2(0) + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \] Giao điểm là \( (0, -1) \). - Tìm giao điểm với trục \( Ox \): Thay \( y = 0 \) vào phương trình: \[ 0 = \frac{2x + 1}{x - 1} \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \] Giao điểm là \( (-\frac{1}{2}, 0) \). - Kiểm tra tính chất của hàm số: \[ \lim_{x \to 1^+} y = +\infty \quad \text{và} \quad \lim_{x \to 1^-} y = -\infty \] Điều này cho thấy đường thẳng \( x = 1 \) là tiệm cận đứng. Phương án B: \( y = \frac{2x + 3}{x + 1} \) - Tìm giao điểm với trục \( Oy \): Thay \( x = 0 \) vào phương trình: \[ y = \frac{2(0) + 3}{0 + 1} = \frac{3}{1} = 3 \] Giao điểm là \( (0, 3) \). - Tìm giao điểm với trục \( Ox \): Thay \( y = 0 \) vào phương trình: \[ 0 = \frac{2x + 3}{x + 1} \Rightarrow 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} \] Giao điểm là \( (-\frac{3}{2}, 0) \). - Kiểm tra tính chất của hàm số: \[ \lim_{x \to -1^+} y = +\infty \quad \text{và} \quad \lim_{x \to -1^-} y = -\infty \] Điều này cho thấy đường thẳng \( x = -1 \) là tiệm cận đứng. Phương án C: \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) - Tìm giao điểm với trục \( Oy \): Thay \( x = 0 \) vào phương trình: \[ y = \frac{2(0) - 1}{0 + 1} = \frac{-1}{1} = -1 \] Giao điểm là \( (0, -1) \). - Tìm giao điểm với trục \( Ox \): Thay \( y = 0 \) vào phương trình: \[ 0 = \frac{2x - 1}{x + 1} \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \] Giao điểm là \( (\frac{1}{2}, 0) \). - Kiểm tra tính chất của hàm số: \[ \lim_{x \to -1^+} y = +\infty \quad \text{và} \quad \lim_{x \to -1^-} y = -\infty \] Điều này cho thấy đường thẳng \( x = -1 \) là tiệm cận đứng. Phương án D: \( y = \frac{2x - 2}{x - 1} \) - Tìm giao điểm với trục \( Oy \): Thay \( x = 0 \) vào phương trình: \[ y = \frac{2(0) - 2}{0 - 1} = \frac{-2}{-1} = 2 \] Giao điểm là \( (0, 2) \). - Tìm giao điểm với trục \( Ox \): Thay \( y = 0 \) vào phương trình: \[ 0 = \frac{2x - 2}{x - 1} \Rightarrow 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \] Giao điểm là \( (1, 0) \). - Kiểm tra tính chất của hàm số: \[ \lim_{x \to 1^+} y = +\infty \quad \text{và} \quad \lim_{x \to 1^-} y = -\infty \] Điều này cho thấy đường thẳng \( x = 1 \) là tiệm cận đứng. So sánh các phương án trên với đồ thị đã cho, ta thấy rằng phương án C \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) có các tính chất phù hợp với đồ thị. Đáp án: C. \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) Câu 7: Để đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + m$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, ta cần tìm các giá trị của $m$ sao cho phương trình $x^3 - 3x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt. Bước 1: Xét hàm số $f(x) = x^3 - 3x + m$. Ta tính đạo hàm của hàm số này: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm $f'(x)$ trên các khoảng $( -\infty, -1 )$, $(-1, 1)$ và $(1, +\infty)$: - Trên khoảng $(-\infty, -1)$: $f'(x) > 0$ (hàm số đồng biến) - Trên khoảng $(-1, 1)$: $f'(x) < 0$ (hàm số nghịch biến) - Trên khoảng $(1, +\infty)$: $f'(x) > 0$ (hàm số đồng biến) Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại $x = -1$: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + m = -1 + 3 + m = 2 + m$ - Tại $x = 1$: $f(1) = (1)^3 - 3(1) + m = 1 - 3 + m = -2 + m$ Bước 5: Để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, hàm số phải có một cực đại và một cực tiểu, trong đó một trong hai giá trị cực trị phải bằng 0. Do đó, ta có hai trường hợp: - $2 + m = 0 \Rightarrow m = -2$ - $-2 + m = 0 \Rightarrow m = 2$ Vậy các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + m$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt là $m = 2$ hoặc $m = -2$. Đáp án đúng là: B. $m = \pm 2$. Câu 8: Để xác định điều kiện cần và đủ để các điểm \(A, B, C, D\) tạo thành hình bình hành, ta cần kiểm tra tính chất của các vectơ liên quan đến các đỉnh của hình bình hành. Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. \( \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} \) Điều này không đúng vì nó không phản ánh tính chất của hình bình hành. B. \( OA + \frac{1}{2}OC = OB + \frac{1}{2}OD \) Điều này cũng không đúng vì nó không liên quan đến tính chất của vectơ trong hình bình hành. C. \( OA + OC = OB + OD \) Điều này đúng vì nó phản ánh tính chất của vectơ trong hình bình hành. D. \( OA + OB + OC + OD = 0 \) Điều này không đúng vì nó không phản ánh tính chất của vectơ trong hình bình hành. Vậy, điều kiện cần và đủ để \(A, B, C, D\) tạo thành hình bình hành là: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \] Đáp án đúng là: C. \( OA + OC = OB + OD \). Câu 9: Để tìm cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \times 5 + 4 \times 0 + 0 \times 12 = -15 + 0 + 0 = -15 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5 \] \[ |\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 0 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] Bây giờ, ta thay vào công thức để tìm cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{-15}{5 \times 13} = \frac{-15}{65} = -\frac{3}{13} \] Vậy, cosin của góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $-\frac{3}{13}$. Đáp án đúng là: D. $-\frac{3}{13}$. Câu 10: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \) từ đồ thị, ta cần quan sát sự thay đổi của giá trị hàm số khi \( x \) tăng lên. - Trên đoạn \( (-\infty, -2) \), đồ thị hàm số đang giảm dần, tức là khi \( x \) tăng thì \( y \) giảm. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên đoạn \( (-2, 0) \), đồ thị hàm số đang tăng dần, tức là khi \( x \) tăng thì \( y \) cũng tăng. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. - Trên đoạn \( (0, 2) \), đồ thị hàm số đang giảm dần, tức là khi \( x \) tăng thì \( y \) giảm. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên đoạn \( (2, +\infty) \), đồ thị hàm số đang tăng dần, tức là khi \( x \) tăng thì \( y \) cũng tăng. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. Từ những phân tích trên, ta thấy rằng hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (0, 2) \). Vậy, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng: \[ (-\infty, -2) \text{ và } (0, 2) \]