Cứu e với mọi người

Câu 11. Để tìm vectơ $\overrightarrow{AG}$, ta cần xác định vị trí của điểm G trong tam giác BCD. Trọng tâm G của tam giác BCD chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Ta có: - Điểm G là trọng tâm của tam giác BCD, do đó $\overrightarrow{BG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{CG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$. Ta cũng biết rằng: - $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$ Do đó: - $\overrightarrow{BG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ - $\overrightarrow{CG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b})$ Bây giờ, ta sẽ tìm $\overrightarrow{AG}$ bằng cách sử dụng công thức vectơ tổng: - $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}) = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c} - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c}$ Tương tự: - $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} = \frac{2}{3}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c}$ Cuối cùng, ta kết hợp hai biểu thức trên để tìm $\overrightarrow{AG}$: - $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})} \] Câu 12. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong tứ diện đều ABCD, các cạnh đều bằng nhau và các mặt đều là tam giác đều. Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ sẽ phụ thuộc vào vị trí tương đối của chúng. Ta xét hình học của tứ diện đều: - Các đỉnh A, B, C, D tạo thành các tam giác đều. - Gọi O là tâm của đáy ABC, thì O cũng là trung điểm của CD. Do tính chất đối xứng của tứ diện đều, ta có: - $\overrightarrow{AB}$ nằm trên mặt phẳng ABC. - $\overrightarrow{CD}$ vuông góc với mặt phẳng ABC tại O. Vì vậy, góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ sẽ là góc giữa một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó. Điều này dẫn đến góc giữa chúng là 90°. Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là: \[ (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 90^\circ \] Đáp án đúng là: \[ D.~(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 90^\circ \] Câu 13. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-2; 4]\), chúng ta cần xem xét giá trị của hàm số tại các điểm cực đại và các biên của đoạn. 1. Xác định các điểm cực đại: - Từ đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm \( x = 1 \) với giá trị \( f(1) = 7 \). 2. Xác định giá trị của hàm số tại các biên của đoạn: - Tại \( x = -2 \), giá trị của hàm số là \( f(-2) = 2 \). - Tại \( x = 4 \), giá trị của hàm số là \( f(4) = 3 \). 3. So sánh các giá trị đã tìm được: - \( f(1) = 7 \) - \( f(-2) = 2 \) - \( f(4) = 3 \) Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là 7, đạt được khi \( x = 1 \). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-2; 4]\) là 7. Đáp án đúng là: C. 7.