giupoppoooll c) Góc giữa hai veclo DC và in vang ,$d)|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA^\prime}|=3$,Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. (Học sinh trả lời các câu hỏi từ 1 đến 6 mỗi câu trả lời đúng được,0,5 điểm),Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1;3;2),~B(3;-1;1),~C(2;4;-6).$ Biết tọa độ trọng tâm của tam,giác ABC là $G(a;b;c).$ Tính $a+b+c$,Câu 2. Cho hai veeto $\overrightarrow a(10.1.-4)$ và $\overrightarrow b(-2;6;7).$ tích có hướng của hai vecto là $\overrightarrow n=\lceil\overrightarrow a,\overrightarrow b\rceil.$ Tính $|\overrightarrow n|$

Question

giupoppoooll c) Góc giữa hai veclo DC và in vang ,$d)|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA^\prime}|=3$,Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. (Học sinh trả lời các câu hỏi từ 1 đến 6 mỗi câu trả lời đúng được,0,5 điểm),Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1;3;2),~B(3;-1;1),~C(2;4;-6).$ Biết tọa độ trọng tâm của tam,giác ABC là $G(a;b;c).$ Tính $a+b+c$,Câu  2. Cho hai veeto $\overrightarrow a(10.1.-4)$ và $\overrightarrow b(-2;6;7).$ tích có hướng của hai vecto là $\overrightarrow n=\lceil\overrightarrow a,\overrightarrow b\rceil.$ Tính $|\overrightarrow n|$

Accepted Answer

Câu 1.
Để tính tọa độ trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $, ta sử dụng công thức tọa độ trọng tâm của một tam giác. Nếu $ A(x_1, y_1, z_1) $, $ B(x_2, y_2, z_2) $, và $ C(x_3, y_3, z_3) $ là ba đỉnh của tam giác, thì tọa độ trọng tâm $ G $ sẽ là:
$$ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) $$

Áp dụng vào bài toán, ta có:
- $ A(1, 3, 2) $
- $ B(3, -1, 1) $
- $ C(2, 4, -6) $

Tọa độ trọng tâm $ G $ là:
$$ G\left(\frac{1 + 3 + 2}{3}, \frac{3 + (-1) + 4}{3}, \frac{2 + 1 + (-6)}{3}\right) $$

Ta tính từng thành phần:
$$ a = \frac{1 + 3 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2 $$
$$ b = \frac{3 + (-1) + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2 $$
$$ c = \frac{2 + 1 + (-6)}{3} = \frac{-3}{3} = -1 $$

Vậy tọa độ trọng tâm $ G $ là $ G(2, 2, -1) $.

Cuối cùng, ta tính $ a + b + c $:
$$ a + b + c = 2 + 2 + (-1) = 3 $$

Đáp số: $ a + b + c = 3 $

Câu 2.
Để tính $|\overrightarrow{n}|$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tích có hướng $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$:
   
   Ta có:
   $$
   \overrightarrow{a} = (10, 1, -4)
   $$
   $$
   \overrightarrow{b} = (-2, 6, 7)
   $$

Tích có hướng $\overrightarrow{n}$ được tính theo công thức:
   $$
   \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = 
   \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   10 & 1 & -4 \
   -2 & 6 & 7
   \end{vmatrix}
   $$

Ta mở rộng theo hàng đầu tiên:
   $$
   \overrightarrow{n} = \mathbf{i} \left(1 \cdot 7 - (-4) \cdot 6 \right) - \mathbf{j} \left(10 \cdot 7 - (-4) \cdot (-2) \right) + \mathbf{k} \left(10 \cdot 6 - 1 \cdot (-2) \right)
   $$

Tính từng thành phần:
   $$
   \mathbf{i} \left(7 + 24 \right) = \mathbf{i} \cdot 31
   $$
   $$
   -\mathbf{j} \left(70 - 8 \right) = -\mathbf{j} \cdot 62
   $$
   $$
   \mathbf{k} \left(60 + 2 \right) = \mathbf{k} \cdot 62
   $$

Vậy:
   $$
   \overrightarrow{n} = (31, -62, 62)
   $$

2. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{n}$:

Độ dài của vectơ $\overrightarrow{n}$ được tính bằng công thức:
   $$
   |\overrightarrow{n}| = \sqrt{31^2 + (-62)^2 + 62^2}
   $$

Tính từng bình phương:
   $$
   31^2 = 961
   $$
   $$
   (-62)^2 = 3844
   $$
   $$
   62^2 = 3844
   $$

Cộng lại:
   $$
   |\overrightarrow{n}| = \sqrt{961 + 3844 + 3844} = \sqrt{8649}
   $$

Kết quả:
   $$
   |\overrightarrow{n}| = 93
   $$

Vậy, độ dài của vectơ $\overrightarrow{n}$ là $93$.