giupoppoooll

Câu 1. Để tính tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức tọa độ trọng tâm của một tam giác. Nếu \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), và \( C(x_3, y_3, z_3) \) là ba đỉnh của tam giác, thì tọa độ trọng tâm \( G \) sẽ là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Áp dụng vào bài toán, ta có: - \( A(1, 3, 2) \) - \( B(3, -1, 1) \) - \( C(2, 4, -6) \) Tọa độ trọng tâm \( G \) là: \[ G\left(\frac{1 + 3 + 2}{3}, \frac{3 + (-1) + 4}{3}, \frac{2 + 1 + (-6)}{3}\right) \] Ta tính từng thành phần: \[ a = \frac{1 + 3 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2 \] \[ b = \frac{3 + (-1) + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2 \] \[ c = \frac{2 + 1 + (-6)}{3} = \frac{-3}{3} = -1 \] Vậy tọa độ trọng tâm \( G \) là \( G(2, 2, -1) \). Cuối cùng, ta tính \( a + b + c \): \[ a + b + c = 2 + 2 + (-1) = 3 \] Đáp số: \( a + b + c = 3 \) Câu 2. Để tính $|\overrightarrow{n}|$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tích có hướng $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$: Ta có: \[ \overrightarrow{a} = (10, 1, -4) \] \[ \overrightarrow{b} = (-2, 6, 7) \] Tích có hướng $\overrightarrow{n}$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 10 & 1 & -4 \\ -2 & 6 & 7 \end{vmatrix} \] Ta mở rộng theo hàng đầu tiên: \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i} \left(1 \cdot 7 - (-4) \cdot 6 \right) - \mathbf{j} \left(10 \cdot 7 - (-4) \cdot (-2) \right) + \mathbf{k} \left(10 \cdot 6 - 1 \cdot (-2) \right) \] Tính từng thành phần: \[ \mathbf{i} \left(7 + 24 \right) = \mathbf{i} \cdot 31 \] \[ -\mathbf{j} \left(70 - 8 \right) = -\mathbf{j} \cdot 62 \] \[ \mathbf{k} \left(60 + 2 \right) = \mathbf{k} \cdot 62 \] Vậy: \[ \overrightarrow{n} = (31, -62, 62) \] 2. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{n}$: Độ dài của vectơ $\overrightarrow{n}$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{31^2 + (-62)^2 + 62^2} \] Tính từng bình phương: \[ 31^2 = 961 \] \[ (-62)^2 = 3844 \] \[ 62^2 = 3844 \] Cộng lại: \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{961 + 3844 + 3844} = \sqrt{8649} \] Kết quả: \[ |\overrightarrow{n}| = 93 \] Vậy, độ dài của vectơ $\overrightarrow{n}$ là $93$.