Giup minh với.

Câu 1: Để tìm khoảng cách từ đỉnh núi đến thung lũng, ta cần tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = h(x) = x^3 - 6x^2 + 100 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ h'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 100) = 3x^2 - 12x \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ h'(x) = 3x^2 - 12x = 0 \] \[ 3x(x - 4) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm hai bên các điểm này: - Khi \( x < 0 \), \( h'(x) > 0 \) (hàm số tăng) - Khi \( 0 < x < 4 \), \( h'(x) < 0 \) (hàm số giảm) - Khi \( x > 4 \), \( h'(x) > 0 \) (hàm số tăng) Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực đại và \( x = 4 \) là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ h(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 100 = 100 \] - Tại \( x = 4 \): \[ h(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 100 = 64 - 96 + 100 = 68 \] Bước 5: So sánh các giá trị để xác định GTLN và GTNN: - GTLN của hàm số là 100, đạt được khi \( x = 0 \). - GTNN của hàm số là 68, đạt được khi \( x = 4 \). Bước 6: Tính khoảng cách từ đỉnh núi đến thung lũng: \[ \text{Khoảng cách} = \text{GTLN} - \text{GTNN} = 100 - 68 = 32 \] Vậy khoảng cách từ đỉnh núi đến thung lũng là 32 km. Câu 2: Để tìm số lượng vi khuẩn lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( N(t) = 1000 + \frac{100t}{100 + t^2} \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( N(t) \): \[ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(1000 + \frac{100t}{100 + t^2}\right) \] \[ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{100t}{100 + t^2}\right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ N'(t) = \frac{(100)(100 + t^2) - (100t)(2t)}{(100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{10000 + 100t^2 - 200t^2}{(100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{10000 - 100t^2}{(100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{100(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2} \] Bước 2: Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình \( N'(t) = 0 \): \[ \frac{100(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2} = 0 \] \[ 100 - t^2 = 0 \] \[ t^2 = 100 \] \[ t = 10 \text{ hoặc } t = -10 \] Bước 3: Kiểm tra dấu của đạo hàm \( N'(t) \) để xác định tính chất của các điểm cực trị: - Khi \( t < -10 \), \( 100 - t^2 < 0 \), do đó \( N'(t) < 0 \). - Khi \( -10 < t < 10 \), \( 100 - t^2 > 0 \), do đó \( N'(t) > 0 \). - Khi \( t > 10 \), \( 100 - t^2 < 0 \), do đó \( N'(t) < 0 \). Từ đó, ta thấy rằng \( t = 10 \) là điểm cực đại của hàm số \( N(t) \). Bước 4: Tính giá trị của \( N(t) \) tại \( t = 10 \): \[ N(10) = 1000 + \frac{100 \cdot 10}{100 + 10^2} \] \[ N(10) = 1000 + \frac{1000}{100 + 100} \] \[ N(10) = 1000 + \frac{1000}{200} \] \[ N(10) = 1000 + 5 \] \[ N(10) = 1005 \] Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng là 1005 con, đạt được khi \( t = 10 \) giây.