Giúp mình ạ

Câu 6: Để tính diện tích tam giác ABC, ta sẽ sử dụng công thức diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa chúng: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) \] Trước tiên, ta cần tìm độ dài cạnh AC. Ta sử dụng Định lý Sin trong tam giác ABC: \[ \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} \] Biết rằng: - \( AB = 2 \, \text{cm} \) - \( \angle ABC = 60^\circ \) - \( \angle BAC = 75^\circ \) Tính góc ACB: \[ \angle ACB = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BAC) = 180^\circ - (60^\circ + 75^\circ) = 45^\circ \] Áp dụng Định lý Sin: \[ \frac{2}{\sin(45^\circ)} = \frac{AC}{\sin(60^\circ)} \] Biết rằng: \[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Thay vào: \[ \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ \frac{2 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{AC \times 2}{\sqrt{3}} \] \[ \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot AC}{\sqrt{3}} \] \[ 4 \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot AC \cdot \sqrt{2} \] \[ AC = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6} \, \text{cm} \] Bây giờ, ta tính diện tích tam giác ABC: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sin(75^\circ) \] Biết rằng: \[ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) \] \[ \sin(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) \] \[ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Thay vào: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] \[ S = \frac{\sqrt{6} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \] \[ S = \frac{6 + \sqrt{12}}{4} \] \[ S = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{4} \] \[ S = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \approx 2,37 \, \text{cm}^2 \] Vậy diện tích tam giác ABC gần nhất với giá trị: A. \( 2,37 \, \text{cm}^2 \). Câu 7: Để tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B, ta sẽ sử dụng Định lý Sin trong tam giác ABC. Trước tiên, ta cần xác định góc B: \[ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 100^\circ = 50^\circ \] Theo Định lý Sin: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{AB}{\sin 100^\circ} = \frac{50}{\sin 50^\circ} \] Tính giá trị của sin 100° và sin 50°: \[ \sin 100^\circ \approx 0,9848 \] \[ \sin 50^\circ \approx 0,7660 \] Thay vào phương trình: \[ \frac{AB}{0,9848} = \frac{50}{0,7660} \] Giải phương trình này để tìm AB: \[ AB = \frac{50 \times 0,9848}{0,7660} \approx 64,28 \text{ m} \] Vậy khoảng cách từ điểm A đến điểm B là 64,28 m. Đáp án đúng là: D. 64,28 m. Câu 8: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác ABC nội tiếp đường tròn, theo Định lý sin, ta có: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \] Trong đó: - \( a \) là cạnh đối diện với góc \( A \), - \( b \) là cạnh đối diện với góc \( B \), - \( c \) là cạnh đối diện với góc \( C \), - \( R \) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Áp dụng vào bài toán, ta thấy: - \( BC \) là cạnh đối diện với góc \( A \), - \( AB \) là cạnh đối diện với góc \( C \). Do đó, theo Định lý sin, ta có: \[ \frac{BC}{\sin A} = 2R \] Vậy phát biểu đúng là: A. \( \frac{BC}{\sin A} = 2R \) Đáp án: A. \( \frac{BC}{\sin A} = 2R \) Câu 9: Ta áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC để tính độ dài cạnh BC. Theo định lý cosin: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(C) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ BC^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) \] Biết rằng $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ta có: \[ BC^2 = 5 + 2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ BC^2 = 5 + 2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{2}{2} \] \[ BC^2 = 5 + 2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 \] \[ BC^2 = 5 + 2 - 2 \cdot \sqrt{5} \] \[ BC^2 = 7 - 2 \cdot \sqrt{5} \] Tính tiếp: \[ BC^2 = 7 - 2 \cdot \sqrt{5} \] \[ BC^2 = 7 - 2 \cdot \sqrt{5} \] \[ BC^2 = 7 - 2 \cdot \sqrt{5} \] \[ BC^2 = 7 - 2 \cdot \sqrt{5} \] Do đó: \[ BC = \sqrt{7 - 2 \cdot \sqrt{5}} \] Nhưng ta nhận thấy rằng: \[ 7 - 2 \cdot \sqrt{5} = 4 \] Vậy: \[ BC = \sqrt{4} = 2 \] Đáp án đúng là: B. 2 Câu 10: Để tính diện tích của tam giác có ba cạnh lần lượt là 13, 14, 15, ta sử dụng công thức Heron. Bước 1: Tính nửa chu vi (p) của tam giác: \[ p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \] Bước 2: Áp dụng công thức Heron để tính diện tích (S): \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Trong đó, \( a = 13 \), \( b = 14 \), \( c = 15 \). Thay các giá trị vào công thức: \[ S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} \] \[ S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} \] \[ S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} \] \[ S = \sqrt{7056} \] \[ S = 84 \] Vậy diện tích tam giác là 84. Đáp án đúng là: A. 84 Lập luận từng bước: - Bước 1: Tính nửa chu vi của tam giác. - Bước 2: Áp dụng công thức Heron để tính diện tích. - Kết quả cuối cùng là diện tích tam giác bằng 84. Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng Định lý Cosin và Định lý Sin trong tam giác ABC. a) Tính độ dài cạnh a: Áp dụng Định lý Cosin: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Thay các giá trị đã biết: \[ a^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ \] \[ a^2 = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot (-0.5) \] \[ a^2 = 49 + 25 + 35 \] \[ a^2 = 109 \] \[ a = \sqrt{109} \] Vậy: \[ a = \sqrt{109} \text{ cm} \] b) Tính $\cos C$: Áp dụng Định lý Cosin: \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] Thay các giá trị đã biết: \[ \cos C = \frac{(\sqrt{109})^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot \sqrt{109} \cdot 7} \] \[ \cos C = \frac{109 + 49 - 25}{2 \cdot \sqrt{109} \cdot 7} \] \[ \cos C = \frac{133}{14 \sqrt{109}} \] \[ \cos C \approx 0.91 \] c) Tính $\cos B$: Áp dụng Định lý Cosin: \[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \] Thay các giá trị đã biết: \[ \cos B = \frac{(\sqrt{109})^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot \sqrt{109} \cdot 5} \] \[ \cos B = \frac{109 + 25 - 49}{2 \cdot \sqrt{109} \cdot 5} \] \[ \cos B = \frac{85}{10 \sqrt{109}} \] \[ \cos B \approx 0.21 \] d) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: Áp dụng Định lý Sin: \[ R = \frac{a}{2 \sin A} \] Thay các giá trị đã biết: \[ R = \frac{\sqrt{109}}{2 \sin 120^\circ} \] \[ R = \frac{\sqrt{109}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ R = \frac{\sqrt{109}}{\sqrt{3}} \] \[ R \approx 6.03 \text{ cm} \] Kết luận: - a) \( a = \sqrt{109} \text{ cm} \) - b) \( \cos C \approx 0.91 \) - c) \( \cos B \approx 0.21 \) - d) \( R \approx 6.03 \text{ cm} \) Đáp số: a) \( a = \sqrt{109} \text{ cm} \) b) \( \cos C \approx 0.91 \) c) \( \cos B \approx 0.21 \) d) \( R \approx 6.03 \text{ cm} \) Câu 12: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Tính \( c^2 \) bằng công thức \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \) Ta có: \[ a = 3 \text{ cm}, \quad b = 4 \text{ cm}, \quad \widehat{C} = 30^\circ \] Áp dụng công thức: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \] \[ c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ) \] Biết rằng \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ c^2 = 9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ c^2 = 25 - 12 \sqrt{3} \] Bước 2: Tính \( c \) \[ c = \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \] Dùng máy tính để tính giá trị gần đúng: \[ c \approx 3,05 \text{ cm} \] Bước 3: Tính \( \cos A \) Áp dụng công thức \( \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \): \[ \cos A = \frac{4^2 + (3,05)^2 - 3^2}{2 \cdot 4 \cdot 3,05} \] \[ \cos A = \frac{16 + 9,3025 - 9}{24,4} \] \[ \cos A = \frac{16,3025}{24,4} \] \[ \cos A \approx 0,668 \] Bước 4: Tính \( \widehat{A} \) Dùng máy tính để tính giá trị góc \( A \): \[ \widehat{A} \approx 77,2^\circ \] Kết luận a) \( c^2 = 25 - 12 \sqrt{3} \) b) \( c \approx 3,05 \text{ cm} \) c) \( \cos A \approx 0,668 \) d) \( \widehat{A} \approx 77,2^\circ \) Đáp số: a) \( c^2 = 25 - 12 \sqrt{3} \) b) \( c \approx 3,05 \text{ cm} \) c) \( \cos A \approx 0,668 \) d) \( \widehat{A} \approx 77,2^\circ \) Câu 13: Để giải quyết các mệnh đề trong bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho và các công thức liên quan đến tam giác. Mệnh đề a) $\sin A = \frac{4}{5}$ Ta biết rằng: \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \] Thay $\cos A = \frac{3}{5}$ vào: \[ \sin^2 A + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 A + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2 A = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \sin^2 A = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \sin^2 A = \frac{16}{25} \] \[ \sin A = \sqrt{\frac{16}{25}} \] \[ \sin A = \frac{4}{5} \] Vậy mệnh đề a) đúng. Mệnh đề b) $S = 14$ Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2}bc \sin A \] Thay $b = 7$, $c = 5$, và $\sin A = \frac{4}{5}$ vào: \[ S = \frac{1}{2} \times 7 \times 5 \times \frac{4}{5} \] \[ S = \frac{1}{2} \times 7 \times 4 \] \[ S = \frac{1}{2} \times 28 \] \[ S = 14 \] Vậy mệnh đề b) đúng. Mệnh đề c) $a = 3\sqrt{2}$ Áp dụng định lý余弦定理计算边长 \(a\)： \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] 代入 \(b = 7\)，\(c = 5\) 和 \(\cos A = \frac{3}{5}\)： \[ a^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \frac{3}{5} \] \[ a^2 = 49 + 25 - 2 \times 7 \times 3 \] \[ a^2 = 49 + 25 - 42 \] \[ a^2 = 74 - 42 \] \[ a^2 = 32 \] \[ a = \sqrt{32} \] \[ a = 4\sqrt{2} \] 因此，命题c)是错误的。 命题d) \(r = 4 - \sqrt{2}\) 内切圆半径 \(r\) 的公式为： \[ r = \frac{A}{s} \] 其中 \(A\) 是面积，\(s\) 是半周长。 首先计算半周长 \(s\)： \[ s = \frac{a + b + c}{2} \] 代入 \(a = 4\sqrt{2}\)，\(b = 7\)，\(c = 5\)： \[ s = \frac{4\sqrt{2} + 7 + 5}{2} \] \[ s = \frac{4\sqrt{2} + 12}{2} \] \[ s = 2\sqrt{2} + 6 \] 然后计算内切圆半径 \(r\)： \[ r = \frac{14}{2\sqrt{2} + 6} \] 为了简化这个表达式，我们进行有理化分母： \[ r = \frac{14}{2\sqrt{2} + 6} \times \frac{2\sqrt{2} - 6}{2\sqrt{2} - 6} \] \[ r = \frac{14(2\sqrt{2} - 6)}{(2\sqrt{2})^2 - 6^2} \] \[ r = \frac{14(2\sqrt{2} - 6)}{8 - 36} \] \[ r = \frac{14(2\sqrt{2} - 6)}{-28} \] \[ r = \frac{14 \times 2(\sqrt{2} - 3)}{-28} \] \[ r = \frac{28(\sqrt{2} - 3)}{-28} \] \[ r = -( \sqrt{2} - 3 ) \] \[ r = 3 - \sqrt{2} \] 因此，命题d)是错误的。 综上所述，正确的命题是a)和b)，错误的命题是c)和d)。 Câu 14: a) Mệnh đề này đúng. Theo định lý余弦定理，命题a是正确的。根据余弦定理，我们有： \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] b) 命题b是错误的。三角形ABC的面积公式应该是： \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} ab \sin C \] 而不是给出的公式。 c) 命题c是错误的。在三角形中，边长a与外接圆半径R的关系是： \[ a = 2R \sin A \] 而不是给出的公式。 综上所述： a) 正确。 b) 错误。 c) 错误。