nxnxzkzkzkzlk

Bài 1 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức \( A \). 2. Rút gọn biểu thức \( A \). 3. Tìm giá trị của \( x \) để \( A > -3 \). Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức \( A \) Biểu thức \( A \) có dạng: \[ A = \frac{1 + \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}} - \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} + \frac{4x}{1 - x} \] Điều kiện xác định của biểu thức \( A \): - \( x \geq 0 \) (vì \( \sqrt{x} \) phải có nghĩa) - \( 1 - \sqrt{x} \neq 0 \) (tức là \( \sqrt{x} \neq 1 \) hay \( x \neq 1 \)) - \( 1 - x \neq 0 \) (tức là \( x \neq 1 \)) Tóm lại, điều kiện xác định là: \[ x \geq 0 \text{ và } x \neq 1 \] Bước 2: Rút gọn biểu thức \( A \) Ta sẽ thực hiện phép trừ và cộng các phân thức: \[ A = \frac{(1 + \sqrt{x})(1 + \sqrt{x}) - (1 - \sqrt{x})(1 - \sqrt{x})}{(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})} + \frac{4x}{1 - x} \] Rút gọn tử số: \[ (1 + \sqrt{x})(1 + \sqrt{x}) - (1 - \sqrt{x})(1 - \sqrt{x}) = (1 + 2\sqrt{x} + x) - (1 - 2\sqrt{x} + x) = 4\sqrt{x} \] Rút gọn mẫu số: \[ (1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x}) = 1 - x \] Do đó: \[ A = \frac{4\sqrt{x}}{1 - x} + \frac{4x}{1 - x} = \frac{4\sqrt{x} + 4x}{1 - x} = \frac{4(\sqrt{x} + x)}{1 - x} \] Bước 3: Tìm giá trị của \( x \) để \( A > -3 \) Ta có: \[ \frac{4(\sqrt{x} + x)}{1 - x} > -3 \] Nhân cả hai vế với \( 1 - x \) (chú ý dấu của \( 1 - x \)): - Nếu \( 1 - x > 0 \) (tức là \( x < 1 \)), ta có: \[ 4(\sqrt{x} + x) > -3(1 - x) \] \[ 4\sqrt{x} + 4x > -3 + 3x \] \[ 4\sqrt{x} + x > -3 \] - Nếu \( 1 - x < 0 \) (tức là \( x > 1 \)), ta có: \[ 4(\sqrt{x} + x) < -3(1 - x) \] \[ 4\sqrt{x} + 4x < -3 + 3x \] \[ 4\sqrt{x} + x < -3 \] (không thỏa mãn vì \( x \geq 0 \)) Vậy chỉ xét trường hợp \( x < 1 \): \[ 4\sqrt{x} + x > -3 \] Do \( x \geq 0 \), ta thấy \( 4\sqrt{x} + x \geq 0 \), luôn lớn hơn \(-3\). Tóm lại, điều kiện \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \) đã đảm bảo \( A > -3 \). Kết luận: Giá trị của \( x \) để \( A > -3 \) là: \[ x \geq 0 \text{ và } x \neq 1 \] Bài 2. Câu 1: a) Giải phương trình $\frac{x}{2x-6} + \frac{x}{2x+2} = \frac{-2x}{(3-x)(x+1)}$. Điều kiện xác định: $x \neq 3$, $x \neq -1$. Quy đồng mẫu số: \[ \frac{x(x+1)}{(2x-6)(x+1)} + \frac{x(3-x)}{(2x+2)(3-x)} = \frac{-2x}{(3-x)(x+1)} \] Phân tích và rút gọn: \[ \frac{x(x+1) + x(3-x)}{(2x-6)(x+1)} = \frac{-2x}{(3-x)(x+1)} \] \[ \frac{x^2 + x + 3x - x^2}{(2x-6)(x+1)} = \frac{-2x}{(3-x)(x+1)} \] \[ \frac{4x}{(2x-6)(x+1)} = \frac{-2x}{(3-x)(x+1)} \] Nhân cả hai vế với $(2x-6)(x+1)$: \[ 4x = -2x(2x-6) \] \[ 4x = -4x^2 + 12x \] \[ 4x^2 - 8x = 0 \] \[ 4x(x - 2) = 0 \] Vậy $x = 0$ hoặc $x = 2$. Kiểm tra điều kiện xác định, ta thấy $x = 0$ và $x = 2$ đều thỏa mãn. b) Giải bất phương trình $\frac{x+1}{3} + \frac{x}{2} \geq 4$. Quy đồng mẫu số: \[ \frac{2(x+1) + 3x}{6} \geq 4 \] \[ \frac{2x + 2 + 3x}{6} \geq 4 \] \[ \frac{5x + 2}{6} \geq 4 \] Nhân cả hai vế với 6: \[ 5x + 2 \geq 24 \] \[ 5x \geq 22 \] \[ x \geq \frac{22}{5} \] Câu 2: Gọi số học sinh của lớp 9A là $x$ và số học sinh của lớp 9B là $y$. Ta có: \[ x + y = 86 \] Mỗi lớp có 3 bạn góp được 5 kg, các bạn còn lại mỗi bạn góp 2 kg. Số bạn còn lại của lớp 9A là $x - 3$, lớp 9B là $y - 3$. Tổng số kg giấy báo cũ của lớp 9A là: \[ 3 \times 5 + 2(x - 3) = 15 + 2x - 6 = 2x + 9 \] Tổng số kg giấy báo cũ của lớp 9B là: \[ 3 \times 5 + 2(y - 3) = 15 + 2y - 6 = 2y + 9 \] Biết lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A là 8 kg: \[ 2y + 9 = 2x + 9 + 8 \] \[ 2y = 2x + 8 \] \[ y = x + 4 \] Thay vào phương trình đầu tiên: \[ x + (x + 4) = 86 \] \[ 2x + 4 = 86 \] \[ 2x = 82 \] \[ x = 41 \] Vậy $y = 41 + 4 = 45$. Đáp số: Lớp 9A có 41 học sinh, lớp 9B có 45 học sinh. Bài 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác và tỉ số lượng giác. Bước 1: Xác định các thông tin đã biết: - Chiều cao của cột anten trên nóc tòa nhà là 5 m. - Vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất. - Góc nhìn từ A đến đỉnh B của cột anten là 50°. - Góc nhìn từ A đến đỉnh C của cột anten là 40°. Bước 2: Xác định các đại lượng cần tìm: - Chiều cao của tòa nhà. Bước 3: Xác định các tam giác và tỉ số lượng giác: - Tam giác ABC với góc A = 50°. - Tam giác ADC với góc A = 40°. Bước 4: Áp dụng tỉ số lượng giác để tìm chiều cao của tòa nhà: - Ta có: $\tan(50^\circ) = \frac{BC}{AC}$ - Ta có: $\tan(40^\circ) = \frac{CD}{AC}$ Bước 5: Tính chiều cao của tòa nhà: - Gọi chiều cao của tòa nhà là h. - Ta có: $BC = h + 5$ - Ta có: $CD = h + 7$ Áp dụng tỉ số lượng giác: $\tan(50^\circ) = \frac{h + 5}{AC}$ $\tan(40^\circ) = \frac{h + 7}{AC}$ Từ đây, ta có: $\frac{\tan(50^\circ)}{\tan(40^\circ)} = \frac{h + 5}{h + 7}$ Giải phương trình này để tìm h. Bước 6: Kết luận: Chiều cao của tòa nhà là h. Đáp số: Chiều cao của tòa nhà là h. Bài 4. Điều kiện xác định: \( R > 0 \) Gọi \( OM = \frac{8}{5}R \) Vì \( MA \) và \( MB \) là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên \( OA \perp MA \) và \( OB \perp MB \). Ta có: \[ OA = OB = R \] Trong tam giác \( OMA \): \[ OM^2 = OA^2 + MA^2 \] \[ \left( \frac{8}{5}R \right)^2 = R^2 + MA^2 \] \[ \frac{64}{25}R^2 = R^2 + MA^2 \] \[ MA^2 = \frac{64}{25}R^2 - R^2 \] \[ MA^2 = \frac{64}{25}R^2 - \frac{25}{25}R^2 \] \[ MA^2 = \frac{39}{25}R^2 \] \[ MA = \sqrt{\frac{39}{25}}R \] \[ MA = \frac{\sqrt{39}}{5}R \] Vậy, độ dài đoạn thẳng \( MA \) là \( \frac{\sqrt{39}}{5}R \).