giải chính xác

Câu 4: Để tìm thời điểm mà tốc độ bán hàng đạt tối đa, ta cần tìm đạo hàm của hàm doanh số \( R(x) \) và sau đó tìm giá trị của \( x \) làm cho đạo hàm này đạt cực đại. Bước 1: Tính đạo hàm của \( R(x) \). \[ R(x) = \frac{5000}{1 + 5e^{-x}} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ R'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{5000}{1 + 5e^{-x}} \right) = 5000 \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1 + 5e^{-x}} \right) \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân thức: \[ R'(x) = 5000 \cdot \frac{-1 \cdot (-5e^{-x})}{(1 + 5e^{-x})^2} = \frac{25000e^{-x}}{(1 + 5e^{-x})^2} \] Bước 2: Tìm giá trị của \( x \) làm cho \( R'(x) \) đạt cực đại. Để tìm cực đại của \( R'(x) \), ta cần tính đạo hàm của \( R'(x) \) và tìm điểm mà đạo hàm này bằng 0. \[ R''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{25000e^{-x}}{(1 + 5e^{-x})^2} \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ R''(x) = 25000 \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{e^{-x}}{(1 + 5e^{-x})^2} \right) \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ R''(x) = 25000 \cdot \frac{(1 + 5e^{-x})^2 \cdot (-e^{-x}) - e^{-x} \cdot 2(1 + 5e^{-x})(-5e^{-x})}{(1 + 5e^{-x})^4} \] \[ R''(x) = 25000 \cdot \frac{-(1 + 5e^{-x})^2 e^{-x} + 10e^{-2x}(1 + 5e^{-x})}{(1 + 5e^{-x})^4} \] \[ R''(x) = 25000 \cdot \frac{-(1 + 5e^{-x}) e^{-x} + 10e^{-2x}}{(1 + 5e^{-x})^3} \] \[ R''(x) = 25000 \cdot \frac{-e^{-x} - 5e^{-2x} + 10e^{-2x}}{(1 + 5e^{-x})^3} \] \[ R''(x) = 25000 \cdot \frac{-e^{-x} + 5e^{-2x}}{(1 + 5e^{-x})^3} \] Đặt \( R''(x) = 0 \): \[ -e^{-x} + 5e^{-2x} = 0 \] \[ e^{-x} = 5e^{-2x} \] \[ e^{x} = 5 \] \[ x = \ln(5) \] Bước 3: Kết luận Tốc độ bán hàng đạt tối đa vào thời điểm năm thứ \( \ln(5) \approx 1.609 \) năm. Vậy, tốc độ bán hàng đạt tối đa vào thời điểm năm thứ 2 (khi làm tròn lên). Câu 5: Để tìm giá trị của \( m \) sao cho góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow{u} = (1; 1; -2)\) và \(\overrightarrow{v} = (1; 0; m)\) bằng \(45^\circ\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vô hướng của hai véc tơ: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot m = 1 - 2m \] 2. Tính độ dài của mỗi véc tơ: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} \] 3. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai véc tơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|} \] Vì góc giữa hai véc tơ là \(45^\circ\), ta có: \[ \cos 45^\circ = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] Biết rằng \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), ta thay vào: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] 4. Giải phương trình: Nhân cả hai vế với \(2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}\): \[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2} = 2(1 - 2m) \] \[ \sqrt{12} \cdot \sqrt{1 + m^2} = 2 - 4m \] \[ 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{1 + m^2} = 2 - 4m \] Chia cả hai vế cho 2: \[ \sqrt{3} \cdot \sqrt{1 + m^2} = 1 - 2m \] Bình phương cả hai vế: \[ 3(1 + m^2) = (1 - 2m)^2 \] \[ 3 + 3m^2 = 1 - 4m + 4m^2 \] \[ 3 + 3m^2 = 1 - 4m + 4m^2 \] \[ 0 = 4m^2 - 3m^2 - 4m + 1 - 3 \] \[ 0 = m^2 - 4m - 2 \] 5. Giải phương trình bậc hai: \[ m^2 - 4m - 2 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -2\): \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} \] \[ m = 2 \pm \sqrt{6} \] 6. Lựa chọn nghiệm phù hợp: Ta có hai giá trị \(m = 2 + \sqrt{6}\) và \(m = 2 - \sqrt{6}\). Do đó, giá trị của \(m\) làm tròn đến hàng phần trăm là: \[ m \approx 2 + \sqrt{6} \approx 2 + 2.449 \approx 4.45 \] \[ m \approx 2 - \sqrt{6} \approx 2 - 2.449 \approx -0.45 \] Vậy giá trị của \(m\) là \(4.45\) hoặc \(-0.45\).