Cho trung tuyến AD, gọi E là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng của điểm D qua E. a). Chứng minh: Tứ giác ANBD là hình bình hành b). Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ANBD là : +) Hình chữ...

a) Ta có E là trung điểm của AB và D là trung điểm của BC (vì AD là trung tuyến của tam giác ABC). Do đó, ta có: - AE = EB (E là trung điểm của AB) - BD = DC (D là trung điểm của BC) N là điểm đối xứng của D qua E, do đó: - EN = ED Từ đó, ta có: - AN = BD (vì N là điểm đối xứng của D qua E) - AN // BD (vì EN = ED và E là trung điểm của AB) Vậy tứ giác ANBD là hình bình hành (theo định nghĩa: tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau). b) +) Tứ giác ANBD là hình chữ nhật khi và chỉ khi một góc của nó là góc vuông. Vì ANBD là hình bình hành, nên điều kiện này tương đương với AN ⊥ BD. Do đó, điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ANBD là hình chữ nhật là: - AN ⊥ BD +) Tứ giác ANBD là hình thoi khi và chỉ khi tất cả các cạnh của nó đều bằng nhau. Vì ANBD là hình bình hành, nên điều kiện này tương đương với AN = NB. Do đó, điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ANBD là hình thoi là: - AN = NB Kết luận: a) Tứ giác ANBD là hình bình hành. b) - Tứ giác ANBD là hình chữ nhật khi AN ⊥ BD. - Tứ giác ANBD là hình thoi khi AN = NB. Câu 5: a) Ta có: - Tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. - Do đó, MA = MB = MC (cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp). - Vì M là trung điểm của BC nên MD và ME là đường cao hạ từ đỉnh M xuống các cạnh AB và AC của tam giác ABC. - Các góc MAD và MAE đều là góc vuông (vì MD và ME là đường cao). - Tứ giác ADME có các góc nội tiếp đều là góc vuông, do đó tứ giác ADME là hình chữ nhật. b) Ta có: - MD vuông góc với AB tại D và MA = MB (cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp). - Do đó, MD là đường trung trực của đoạn thẳng AB (theo tính chất đường trung trực). c) Để tứ giác ADME là hình vuông, ta cần điều kiện thêm là: - Tứ giác ADME là hình vuông khi và chỉ khi AD = DE. - Điều này xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A (AB = AC). Đáp số: a) Tứ giác ADME là hình chữ nhật. b) MD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. c) Điều kiện để tứ giác ADME là hình vuông: tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. Bài 6: a) Chứng minh ABEC là hình thoi. - Vì I là trung điểm của BC nên BI = IC. - A và E đối xứng qua I, suy ra AI = IE và AE vuông góc với BC tại I. - Ta có AB = AC (gt) và BI = IC (I là trung điểm của BC), suy ra tam giác ABI = tam giác AIC (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Suy ra AB = AE (hai cạnh tương ứng). - Tam giác ABE có AI = IE và AE vuông góc với BC tại I, suy ra tam giác ABE cân tại A. - Suy ra AB = BE (hai cạnh bên). - Vậy ABEC là hình thoi (4 cạnh bằng nhau). b) Chứng minh D, C, E thẳng hàng. - Vì ABCD là hình bình hành nên AD song song với BC và AB song song với CD. - Ta có AB = AE (chứng minh trên) và AB song song với CD, suy ra AE song song với CD. - Suy ra tứ giác AEDC là hình bình hành (2 cặp cạnh song song). - Vậy D, C, E thẳng hàng (tứ giác AEDC là hình bình hành). c) Tính số đo góc DAE. - Vì ABCD là hình bình hành nên góc BAD = góc BCD (hai góc đối đỉnh). - Ta có góc BAC = góc CAD (AB = AC, tam giác ABC cân tại A). - Suy ra góc BAD = 2 x góc CAD. - Vì ABCD là hình bình hành nên góc BAD + góc BCD = 180° (hai góc liên tiếp). - Suy ra góc BAD = 90° (góc BAD = góc BCD và tổng của chúng bằng 180°). - Vậy góc CAD = 45° (góc BAD = 2 x góc CAD). - Vì AEDC là hình bình hành nên góc DAE = góc CAD (hai góc đối đỉnh). - Vậy góc DAE = 45°.