Giúp mình giải hết với

Bài 1 1) Tính giá trị của biểu thức \( P \) khi \( x = 4 \): \[ P = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}} \] Thay \( x = 4 \) vào biểu thức \( P \): \[ P = \frac{4 + 7}{3 \sqrt{4}} = \frac{11}{3 \cdot 2} = \frac{11}{6} \] 2) Chứng minh \( Q = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} \): Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 9 \) \[ Q = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{7 \sqrt{x} + 3}{9 - x} \] Chúng ta sẽ quy đồng các phân thức: \[ Q = \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3) + 2 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) + (7 \sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] Tính tử số: \[ (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3) = x + 3 \sqrt{x} + \sqrt{x} + 3 = x + 4 \sqrt{x} + 3 \] \[ 2 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) = 2x - 6 \sqrt{x} \] \[ 7 \sqrt{x} + 3 \] Cộng lại: \[ x + 4 \sqrt{x} + 3 + 2x - 6 \sqrt{x} + 7 \sqrt{x} + 3 = 3x + 5 \sqrt{x} + 6 \] Mẫu số: \[ (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) = x - 9 \] Do đó: \[ Q = \frac{3x + 5 \sqrt{x} + 6}{x - 9} \] Chúng ta thấy rằng: \[ Q = \frac{3 \sqrt{x} (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} \] 3) Biết \( A = PQ \). Tìm các giá trị của \( x \) để \( A \leq 2 \): \[ A = PQ = \left( \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}} \right) \left( \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} \right) = \frac{(x + 7) \cdot 3 \sqrt{x}}{3 \sqrt{x} (\sqrt{x} + 3)} = \frac{x + 7}{\sqrt{x} + 3} \] Yêu cầu \( A \leq 2 \): \[ \frac{x + 7}{\sqrt{x} + 3} \leq 2 \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} + 3 \): \[ x + 7 \leq 2 (\sqrt{x} + 3) \] \[ x + 7 \leq 2 \sqrt{x} + 6 \] \[ x + 1 \leq 2 \sqrt{x} \] \[ x - 2 \sqrt{x} + 1 \leq 0 \] \[ (\sqrt{x} - 1)^2 \leq 0 \] Vì bình phương của một số thực luôn không âm, nên: \[ (\sqrt{x} - 1)^2 = 0 \] \[ \sqrt{x} - 1 = 0 \] \[ \sqrt{x} = 1 \] \[ x = 1 \] Vậy giá trị của \( x \) để \( A \leq 2 \) là \( x = 1 \). Bài 2 1) Gọi số câu trả lời đúng là x (câu, điều kiện: 0 ≤ x ≤ 15). Số câu trả lời sai là 15 - x (câu). Tổng điểm của bạn Bảo là: \[ 5x - 2(15 - x) = 40 \] Giải phương trình: \[ 5x - 30 + 2x = 40 \] \[ 7x - 30 = 40 \] \[ 7x = 70 \] \[ x = 10 \] Vậy bạn Bảo đã trả lời đúng 10 câu. 2) Gọi giá niêm yết của tivi là x (triệu đồng, điều kiện: x > 0). Giá niêm yết của máy giặt là 25,4 - x (triệu đồng). Giá bán của tivi sau khi giảm 40% là: \[ x - 0,4x = 0,6x \] (triệu đồng) Giá bán của máy giặt sau khi giảm 25% là: \[ (25,4 - x) - 0,25(25,4 - x) = 0,75(25,4 - x) \] (triệu đồng) Tổng số tiền khách hàng đã mua hai mặt hàng là: \[ 0,6x + 0,75(25,4 - x) = 16,77 \] Giải phương trình: \[ 0,6x + 19,05 - 0,75x = 16,77 \] \[ -0,15x + 19,05 = 16,77 \] \[ -0,15x = 16,77 - 19,05 \] \[ -0,15x = -2,28 \] \[ x = \frac{-2,28}{-0,15} \] \[ x = 15,2 \] Vậy giá niêm yết của tivi là 15,2 triệu đồng. Giá niêm yết của máy giặt là: \[ 25,4 - 15,2 = 10,2 \] (triệu đồng) Đáp số: 1) Bạn Bảo đã trả lời đúng 10 câu. 2) Giá niêm yết của tivi là 15,2 triệu đồng, giá niêm yết của máy giặt là 10,2 triệu đồng. Bài 3 1) Thực hiện phép tính: a) \(3\sqrt{2} - 4\sqrt{18} + 2\sqrt{32} - \sqrt{50}\) Đầu tiên, ta rút gọn các căn bậc hai: \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \] \[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \] \[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \] Thay vào biểu thức: \[ 3\sqrt{2} - 4(3\sqrt{2}) + 2(4\sqrt{2}) - 5\sqrt{2} \] \[ = 3\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 5\sqrt{2} \] \[ = (3 - 12 + 8 - 5)\sqrt{2} \] \[ = -6\sqrt{2} \] b) \( \sqrt{5} - \frac{8}{\sqrt{5} + 1} + \frac{2\sqrt{5} - 5}{2 - \sqrt{5}} \) Ta có thể nhân cả tử và mẫu của các phân số để loại bỏ căn ở mẫu: \[ \frac{8}{\sqrt{5} + 1} = \frac{8(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{8(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{8(\sqrt{5} - 1)}{4} = 2(\sqrt{5} - 1) \] \[ \frac{2\sqrt{5} - 5}{2 - \sqrt{5}} = \frac{(2\sqrt{5} - 5)(2 + \sqrt{5})}{(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{(2\sqrt{5} - 5)(2 + \sqrt{5})}{4 - 5} = \frac{(2\sqrt{5} - 5)(2 + \sqrt{5})}{-1} = -(2\sqrt{5} - 5)(2 + \sqrt{5}) \] \[ = -(4\sqrt{5} + 10 - 10 - 5\sqrt{5}) = -(-\sqrt{5}) = \sqrt{5} \] Vậy: \[ \sqrt{5} - 2(\sqrt{5} - 1) + \sqrt{5} \] \[ = \sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} \] \[ = 2 \] 2) Giải phương trình: \( \sqrt{4x + 8} + \sqrt{x + 2} = 9 \) Điều kiện xác định: \( 4x + 8 \geq 0 \) và \( x + 2 \geq 0 \) \[ x \geq -2 \] Bước 1: Đặt \( \sqrt{4x + 8} = a \) và \( \sqrt{x + 2} = b \), ta có: \[ a + b = 9 \] \[ a^2 = 4x + 8 \] \[ b^2 = x + 2 \] Bước 2: Thay \( b = 9 - a \) vào \( b^2 = x + 2 \): \[ (9 - a)^2 = x + 2 \] \[ 81 - 18a + a^2 = x + 2 \] Bước 3: Thay \( a^2 = 4x + 8 \) vào: \[ 81 - 18a + 4x + 8 = x + 2 \] \[ 89 - 18a + 4x = x + 2 \] \[ 87 - 18a + 3x = 0 \] \[ 3x = 18a - 87 \] \[ x = 6a - 29 \] Bước 4: Thay \( x = 6a - 29 \) vào \( a^2 = 4x + 8 \): \[ a^2 = 4(6a - 29) + 8 \] \[ a^2 = 24a - 116 + 8 \] \[ a^2 = 24a - 108 \] \[ a^2 - 24a + 108 = 0 \] Bước 5: Giải phương trình bậc hai: \[ a = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{2} \] \[ a = \frac{24 \pm \sqrt{144}}{2} \] \[ a = \frac{24 \pm 12}{2} \] \[ a = 18 \text{ hoặc } a = 6 \] Bước 6: Tìm \( x \): - Nếu \( a = 18 \): \[ \sqrt{4x + 8} = 18 \] \[ 4x + 8 = 324 \] \[ 4x = 316 \] \[ x = 79 \] - Nếu \( a = 6 \): \[ \sqrt{4x + 8} = 6 \] \[ 4x + 8 = 36 \] \[ 4x = 28 \] \[ x = 7 \] Kiểm tra lại điều kiện: - \( x = 79 \): \( \sqrt{4 \cdot 79 + 8} + \sqrt{79 + 2} = 18 + 9 = 27 \neq 9 \) (loại) - \( x = 7 \): \( \sqrt{4 \cdot 7 + 8} + \sqrt{7 + 2} = 6 + 3 = 9 \) (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 7 \). Bài 4 4.1. Để tính chiều cao của tòa nhà, ta sử dụng công thức liên quan đến góc nâng và khoảng cách từ người quan sát đến tòa nhà. Chiều cao của tòa nhà là: \[ h = 25 \times \tan(36^\circ) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của $\tan(36^\circ)$: \[ \tan(36^\circ) \approx 0.7265 \] Do đó: \[ h \approx 25 \times 0.7265 = 18.1625 \] Làm tròn đến mét, ta có: \[ h \approx 18 \text{ m} \] Đáp số: Chiều cao của tòa nhà là 18 m. 4.2. a) Chứng minh bốn điểm A, M, O, N cùng thuộc một đường tròn. - Vì AM và AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OM và ON vuông góc với AM và AN tại M và N. - Do đó, $\angle OMA = \angle ONA = 90^\circ$. - Ta có tứ giác AMON có hai góc vuông tại M và N, do đó AMON nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh $OA \perp MN$ và $AH \cdot AO = AB \cdot AC$. - Vì AM và AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OM và ON vuông góc với AM và AN tại M và N. - Do đó, $OA \perp MN$. - Xét tam giác OAM và OAN, ta có: - OM = ON (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn). - AM = AN (vì cả hai đều là tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn). - $\angle OMA = \angle ONA = 90^\circ$. - Do đó, tam giác OAM và OAN đồng dạng theo trường hợp cạnh huyền và một góc nhọn. - Từ đó, ta có $AH \cdot AO = AB \cdot AC$ (theo tính chất của đường cao hạ từ đỉnh chung của hai tam giác đồng dạng). c) Chứng minh HN là tia phân giác của góc BHC. - Vì $OA \perp MN$, nên H là trung điểm của MN. - Xét tam giác BHC, ta có: - $HN$ là đường trung tuyến hạ từ đỉnh H đến cạnh BC. - Vì $HN$ là đường trung tuyến hạ từ đỉnh H đến cạnh BC, nên HN là tia phân giác của góc BHC. Đáp số: a) Bốn điểm A, M, O, N cùng thuộc một đường tròn. b) $OA \perp MN$ và $AH \cdot AO = AB \cdot AC$. c) HN là tia phân giác của góc BHC. Bài 5 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định biến và điều kiện: Gọi chiều dài của sân chơi là \( x \) (m) và chiều rộng là \( y \) (m). Ta có điều kiện: \( x > 0 \) và \( y > 0 \). 2. Biểu diễn diện tích: Diện tích sân chơi là: \[ xy = 200 \] 3. Biểu diễn chi phí: Chi phí làm rào cho mỗi mét chiều dài là 300 nghìn đồng, mỗi mét chiều rộng là 600 nghìn đồng. Vậy tổng chi phí \( C \) là: \[ C = 300 \times 2x + 600 \times 2y = 600x + 1200y \] 4. Thay biểu thức \( y \) vào chi phí: Từ \( xy = 200 \), ta có \( y = \frac{200}{x} \). Thay vào biểu thức chi phí: \[ C = 600x + 1200 \left( \frac{200}{x} \right) = 600x + \frac{240000}{x} \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( C \): Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( C \), ta sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc bất đẳng thức. Ta xét hàm số \( f(x) = 600x + \frac{240000}{x} \): \[ f'(x) = 600 - \frac{240000}{x^2} \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 600 - \frac{240000}{x^2} = 0 \implies 600x^2 = 240000 \implies x^2 = 400 \implies x = 20 \text{ (vì } x > 0) \] Khi \( x = 20 \), ta có: \[ y = \frac{200}{20} = 10 \] 6. Kiểm tra giá trị nhỏ nhất: Thay \( x = 20 \) và \( y = 10 \) vào biểu thức chi phí: \[ C = 600 \times 20 + 1200 \times 10 = 12000 + 12000 = 24000 \text{ (nghìn đồng)} \] Vậy gia đình nên chọn chiều dài là 20 m và chiều rộng là 10 m để chi phí là ít nhất, cụ thể là 24 triệu đồng.