giải chính xác

Câu 6: Để tìm tọa độ điểm \( D \) sao cho tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành, ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành: hai vectơ đối diện bằng nhau. Tọa độ của các điểm đã cho: - \( A(1;0;3) \) - \( B(2;3;-4) \) - \( C(-3;1;2) \) Ta cần tìm tọa độ của điểm \( D(x;y;z) \). Trong hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \] Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 3 - 0, -4 - 3) = (1, 3, -7) \] Tính vectơ \( \overrightarrow{DC} \): \[ \overrightarrow{DC} = (-3 - x, 1 - y, 2 - z) \] Vì \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \), ta có: \[ (1, 3, -7) = (-3 - x, 1 - y, 2 - z) \] So sánh từng thành phần: 1. \( 1 = -3 - x \) \[ x = -3 - 1 = -4 \] 2. \( 3 = 1 - y \) \[ y = 1 - 3 = -2 \] 3. \( -7 = 2 - z \) \[ z = 2 + 7 = 9 \] Vậy tọa độ của điểm \( D \) là \( (-4, -2, 9) \). Đáp án đúng là: C. \( D(-4; -2; 9) \) Câu 7: Để tính độ dài đoạn thẳng AB trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \): \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào bài toán: - \( A(1, -3, 1) \) - \( B(3, 0, -2) \) Ta có: \[ AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (0 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2} \] \[ AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (0 + 3)^2 + (-2 - 1)^2} \] \[ AB = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-3)^2} \] \[ AB = \sqrt{4 + 9 + 9} \] \[ AB = \sqrt{22} \] Vậy độ dài đoạn thẳng AB là \( \sqrt{22} \). Đáp án đúng là: C. \( \sqrt{22} \). Câu 8: Trước tiên, ta xác định các vectơ và tính toán theo yêu cầu của đề bài. 1. Xác định các vectơ: - $\overrightarrow{SA}$ là vectơ từ S đến A. - $\overrightarrow{SB}$ là vectơ từ S đến B. - $\overrightarrow{SC}$ là vectơ từ S đến C. - $\overrightarrow{AM}$ là vectơ từ A đến M. 2. Tính tổng các vectơ: Ta cần tính $|\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{AM}|$. 3. Xác định vị trí của các điểm: - Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B, do đó AB = BC = 2 và AC = 2√2. - Điểm M là trung điểm của BC, do đó BM = MC = 1. 4. Tính vectơ $\overrightarrow{AM}$: - Vì M là trung điểm của BC, ta có $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. - Do đó, $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. 5. Tính tổng các vectơ: - Ta có $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{AM}$. - Ta biết rằng $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}$ là tổng của các vectơ từ đỉnh S đến các đỉnh của đáy ABC. - Ta cũng biết rằng $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. 6. Tính toán chi tiết: - Ta có $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0}$ vì S là đỉnh của chóp và các vectơ từ S đến các đỉnh của đáy ABC tạo thành một khối phẳng. - Do đó, $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AM}$. 7. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AM}$: - Ta có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. - Độ dài $\overrightarrow{AB} = 2$ và độ dài $\overrightarrow{BC} = 2$, do đó $\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = 1$. - Do đó, $\overrightarrow{AM} = 2 + 1 = 3$. 8. Kết luận: - Ta có $|\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{AM}| = |\overrightarrow{AM}| = 3$. Vậy đáp án đúng là: A. 3. Câu 9: Để tìm độ dài đoạn thẳng \(MG\) trong không gian, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của các điểm M và G: - Điểm \(M\) là trung điểm của \(SB\): \[ M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = (0, 2, 2) \] - Điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SCD\): \[ G = \left(\frac{0+2+0}{3}, \frac{0+0+4}{3}, \frac{4+0+0}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right) \] 2. Tính khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(G\): - Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ MG = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của \(M\) và \(G\) vào: \[ MG = \sqrt{\left(\frac{2}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{4}{3} - 2\right)^2 + \left(\frac{4}{3} - 2\right)^2} \] \[ MG = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3} - \frac{6}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3} - \frac{6}{3}\right)^2} \] \[ MG = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2} \] \[ MG = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}} \] \[ MG = \sqrt{\frac{12}{9}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \] Vậy độ dài \(MG\) là \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\). Đáp án đúng là: C. \(MG = \frac{2\sqrt{3}}{3}\). Câu 10: Để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là góc tù, ta cần tính tích vô hướng của chúng và kiểm tra điều kiện tích vô hướng nhỏ hơn 0. Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5m + 3(-1) + (-2)(m + 3) \] \[ = 5m - 3 - 2m - 6 \] \[ = 3m - 9 \] Để góc giữa hai vectơ là góc tù, ta cần: \[ 3m - 9 < 0 \] \[ 3m < 9 \] \[ m < 3 \] Do đó, các giá trị nguyên dương của \( m \) thỏa mãn điều kiện trên là \( m = 1 \) và \( m = 2 \). Vậy có 2 giá trị nguyên dương của \( m \) để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là góc tù. Đáp án đúng là: A. 2.