giúp e với ạ

Câu 1 Điều kiện xác định: \( x \neq 0 \). Ta có: \[ x = \frac{\sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{5}} \] Trước tiên, ta sẽ đơn giản hóa biểu thức ở mẫu số: \[ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = \sqrt{5} + 1 \] Do đó: \[ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{5} = (\sqrt{5} + 1) - \sqrt{5} = 1 \] Bây giờ, ta đơn giản hóa biểu thức ở tử số: \[ \sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{3})^3} = 1 + \sqrt{3} \] Do đó: \[ \sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} (\sqrt{3} - 1) = (1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1) = 3 - 1 = 2 \] Vậy: \[ x = \frac{2}{1} = 2 \] Tiếp theo, ta tính \( P = (x^3 - 4x + 1)^{2024} \): \[ x = 2 \] \[ x^3 = 2^3 = 8 \] \[ 4x = 4 \times 2 = 8 \] \[ x^3 - 4x + 1 = 8 - 8 + 1 = 1 \] Do đó: \[ P = 1^{2024} = 1 \] Đáp số: \( P = 1 \) Câu 2 Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 1 \). Ta xét biểu thức: \[ A = \left( \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} - \frac{x - \sqrt{x} + 1}{x - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{x^2 + x\sqrt{x} - x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \] Trước tiên, ta sẽ đơn giản hóa từng phân thức trong ngoặc: \[ \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{x + \sqrt{x}} \] \[ \frac{x - \sqrt{x} + 1}{x - \sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{x - \sqrt{x}} \] Do đó: \[ A = \left( 1 + \frac{1}{x + \sqrt{x}} - 1 - \frac{1}{x - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{x^2 + x\sqrt{x} - x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \] \[ = \left( \frac{1}{x + \sqrt{x}} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{x^2 + x\sqrt{x} - x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \] Tiếp theo, ta quy đồng hai phân thức trong ngoặc: \[ \frac{1}{x + \sqrt{x}} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} = \frac{(x - \sqrt{x}) - (x + \sqrt{x})}{(x + \sqrt{x})(x - \sqrt{x})} \] \[ = \frac{x - \sqrt{x} - x - \sqrt{x}}{x^2 - (\sqrt{x})^2} = \frac{-2\sqrt{x}}{x^2 - x} \] \[ = \frac{-2\sqrt{x}}{x(x - 1)} \] Bây giờ, ta thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = \left( \frac{-2\sqrt{x}}{x(x - 1)} \right) \cdot \frac{x^2 + x\sqrt{x} - x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \] Ta thấy rằng: \[ x^2 + x\sqrt{x} - x - \sqrt{x} = x(x + \sqrt{x} - 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}) \] Do đó: \[ A = \left( \frac{-2\sqrt{x}}{x(x - 1)} \right) \cdot \frac{x(x + \sqrt{x} - 1 - \frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x} + 1} \] Chúng ta nhận thấy rằng các biểu thức \( x(x + \sqrt{x} - 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}) \) và \( x(x - 1) \) sẽ triệt tiêu lẫn nhau: \[ A = \frac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \] Cuối cùng, ta nhận thấy rằng biểu thức này không phụ thuộc vào \( x \): \[ A = -2 \] Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến \( x \). Câu 3 Thay $a=3$ vào hệ phương trình, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 3 \\ |x + 1| + y = 2 \end{array} \right. \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ y = 3 - 3x \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ |x + 1| + (3 - 3x) = 2 \] \[ |x + 1| = 2 - 3 + 3x \] \[ |x + 1| = 3x - 1 \] Ta xét hai trường hợp: 1. Trường hợp 1: \( x + 1 \geq 0 \) (tức là \( x \geq -1 \)) \[ x + 1 = 3x - 1 \] \[ 1 + 1 = 3x - x \] \[ 2 = 2x \] \[ x = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào \( y = 3 - 3x \): \[ y = 3 - 3(1) = 0 \] 2. Trường hợp 2: \( x + 1 < 0 \) (tức là \( x < -1 \)) \[ -(x + 1) = 3x - 1 \] \[ -x - 1 = 3x - 1 \] \[ -x - 3x = -1 + 1 \] \[ -4x = 0 \] \[ x = 0 \] Nhưng \( x = 0 \) không thỏa mãn điều kiện \( x < -1 \), nên trường hợp này bị loại. Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = (1, 0) \] Câu 4 Gọi số hàng cây là x (hàng, điều kiện: x > 0). Nếu mỗi hàng trồng 10 cây thì 5 cây không có chỗ trồng, tức là tổng số cây là 10x + 5. Nếu mỗi hàng trồng 11 cây thì lại thừa 1 hàng, tức là tổng số cây là 11(x - 1). Ta có phương trình: \[ 10x + 5 = 11(x - 1) \] Giải phương trình: \[ 10x + 5 = 11x - 11 \] \[ 5 + 11 = 11x - 10x \] \[ 16 = x \] Vậy số hàng cây là 16 hàng. Tổng số cây là: \[ 10 \times 16 + 5 = 160 + 5 = 165 \text{ cây} \] Đáp số: 16 hàng cây, 165 cây. Câu 5 a) Ta có: $\widehat{DAO}=\widehat{BAO}$ (giao tuyến chung OA và hai tiếp tuyến tại A và B) $\widehat{ADO}=\widehat{ABO}=90^\circ$ (tính chất tiếp tuyến) Do đó $\Delta DAO = \Delta BAO$ (cạnh huyền và 1 góc nhọn) $\Rightarrow \widehat{AOD}=\widehat{AOB}$ Mà $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=180^\circ$ (cùng chắn cung AC) $\Rightarrow \widehat{AOD}+\widehat{BOC}=180^\circ$ $\Rightarrow$ Các điểm O, A, D, B cùng thuộc một đường tròn. b) Ta có $\widehat{EAC}=\widehat{EAD}+\widehat{DAC}$ $=\widehat{EAD}+\widehat{DBA}$ (giao tuyến chung AD và 2 tiếp tuyến tại A và B) $=90^\circ-\widehat{AOD}+\widehat{DBA}$ (tính chất đường kính vuông góc dây cung) $=90^\circ-\widehat{AOB}+\widehat{DBA}$ (chứng minh ở phần trên) $=90^\circ-\widehat{ABC}+\widehat{DBA}$ (tính chất đường kính) $=90^\circ-\widehat{CBA}+\widehat{DBA}$ (tính chất tam giác vuông) $=90^\circ-\widehat{CBO}+\widehat{DBO}$ (tính chất đường kính) $=90^\circ-\widehat{DBO}+\widehat{DBO}$ (chứng minh ở phần trên) $=90^\circ$ $\Rightarrow EC$ là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). Câu 6 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý余弦定理来求解两艘船之间的距离。首先，我们需要计算每艘船在1.5小时后行驶的距离。 - 船B的速度为20海里/小时，因此1.5小时后它行驶的距离为： \[ AB = 20 \times 1.5 = 30 \text{ 海里} \] - 船C的速度为15海里/小时，因此1.5小时后它行驶的距离为： \[ AC = 15 \times 1.5 = 22.5 \text{ 海里} \] 现在我们已知三角形ABC的两边AB和AC的长度，以及它们之间的夹角为60度。我们可以使用余弦定理来求解BC的长度。 余弦定理公式为： \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ) \] 代入已知值： \[ BC^2 = 30^2 + 22.5^2 - 2 \cdot 30 \cdot 22.5 \cdot \cos(60^\circ) \] \[ BC^2 = 900 + 506.25 - 2 \cdot 30 \cdot 22.5 \cdot 0.5 \] \[ BC^2 = 900 + 506.25 - 675 \] \[ BC^2 = 731.25 \] 取平方根得到BC的长度： \[ BC = \sqrt{731.25} \approx 27.04 \text{ 海里} \] 所以，1.5小时后两艘船之间的距离约为27.04海里（结果保留两位小数）。 答案：27.04海里。 Câu 7 Điều kiện xác định: \( x \geq 1 \). Bước 1: Đặt \( t = \sqrt{x-1} \) (với \( t \geq 0 \)). Bước 2: Thay vào phương trình: \[ (\sqrt{x-1}+1)^3 + 2\sqrt{x-1} = 2 - x \] \[ (t + 1)^3 + 2t = 2 - (t^2 + 1) \] Bước 3: Mở ngoặc và thu gọn: \[ t^3 + 3t^2 + 3t + 1 + 2t = 2 - t^2 - 1 \] \[ t^3 + 3t^2 + 5t + 1 = 1 - t^2 \] \[ t^3 + 4t^2 + 5t = 0 \] Bước 4: Factorize: \[ t(t^2 + 4t + 5) = 0 \] Bước 5: Giải phương trình: \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t^2 + 4t + 5 = 0 \] Phương trình \( t^2 + 4t + 5 = 0 \) không có nghiệm thực vì \( \Delta = 16 - 20 = -4 < 0 \). Do đó, \( t = 0 \). Bước 6: Quay lại biến ban đầu: \[ \sqrt{x-1} = 0 \] \[ x - 1 = 0 \] \[ x = 1 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \).