giúp e với ạ Câu 1 (3,0 điểm). Cho $x=\frac{\sqrt[3]{10+6\sqrt3}(\sqrt3-1)}{\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt5}.$ Tính $P=(x^3-4x+1)^{2024}$,Câu 2 (3,0 điểm). Chứng minh rằng với $x0,~x e1.$ biểu thức sau không,phụ thuộc vào biến x.,$(\frac{x+\sqrt x+1}{x+\sqrt x}-\frac{x-\sqrt x+1}{x-\sqrt x}).\frac{x^2+x\sqrt x-x-\sqrt x}{\sqrt x+1}$,Câu 3 (3,0 điểm). Giải hệ phương trình sau khi $a=3$,$\left\{\begin{array}cax+y=3\|x+1|+y=2\end{array} ight.$,Câu 4 (3,0 điểm). Một khu vườn hình chữ nhật, được trồng cây thành từng,hàng theo chiều rộng. Nếu mỗi hàng trồng 10 cây thì 5 cây không có chỗ trồng.,Nếu mỗi hàng trồng 11 cây thì lại thừa 1 hàng. Hỏi vườn cây đó có bao nhiêu hàng,cây và có bao nhiêu cây?,Câu 5 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A $(AB,Câu 7 (2,0 điểm). Tìm x, biết: $(\sqrt{x-1}+1)^3+2\sqrt{x-1}=2-x$

Question

giúp e với ạ Câu 1 (3,0 điểm). Cho $x=\frac{\sqrt[3]{10+6\sqrt3}(\sqrt3-1)}{\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt5}.$ Tính $P=(x^3-4x+1)^{2024}$,Câu 2 (3,0 điểm). Chứng minh rằng với $x>0,~x e1.$ biểu thức sau không,phụ thuộc vào biến x.,$(\frac{x+\sqrt x+1}{x+\sqrt x}-\frac{x-\sqrt x+1}{x-\sqrt x}).\frac{x^2+x\sqrt x-x-\sqrt x}{\sqrt x+1}$,Câu 3 (3,0 điểm). Giải hệ phương trình sau khi $a=3$,$\left\{\begin{array}cax+y=3\|x+1|+y=2\end{array} ight.$,Câu 4 (3,0 điểm). Một khu vườn hình chữ nhật, được trồng cây thành từng,hàng theo chiều rộng. Nếu mỗi hàng trồng 10 cây thì 5 cây không có chỗ trồng.,Nếu mỗi hàng trồng 11 cây thì lại thừa 1 hàng. Hỏi vườn cây đó có bao nhiêu hàng,cây và có bao nhiêu cây?,Câu 5 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A $(AB,Câu 7 (2,0 điểm). Tìm x, biết: $(\sqrt{x-1}+1)^3+2\sqrt{x-1}=2-x$

Accepted Answer

Câu 1 Điều kiện xác định: $ x \neq 0 $. Ta có: $$ x = \frac{\sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{5}} $$ Trước tiên, ta sẽ đơn giản hóa biểu thức ở mẫu số: $$ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = \sqrt{5} + 1 $$ Do đó: $$ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{5} = (\sqrt{5} + 1) - \sqrt{5} = 1 $$ Bây giờ, ta đơn giản hóa biểu thức ở tử số: $$ \sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{3})^3} = 1 + \sqrt{3} $$ Do đó: $$ \sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} (\sqrt{3} - 1) = (1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1) = 3 - 1 = 2 $$ Vậy: $$ x = \frac{2}{1} = 2 $$ Tiếp theo, ta tính $ P = (x^3 - 4x + 1)^{2024} $: $$ x = 2 $$ $$ x^3 = 2^3 = 8 $$ $$ 4x = 4 \times 2 = 8 $$ $$ x^3 - 4x + 1 = 8 - 8 + 1 = 1 $$ Do đó: $$ P = 1^{2024} = 1 $$ Đáp số: $ P = 1 $ Câu 2 Điều kiện xác định: $ x > 0, x \neq 1 $. Ta xét biểu thức: $$ A = \left( \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} - \frac{x - \sqrt{x} + 1}{x - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{x^2 + x\sqrt{x} - x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $$ Trước tiên, ta sẽ đơn giản hóa từng phân thức trong ngoặc: $$ \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{x + \sqrt{x}} $$ $$ \frac{x - \sqrt{x} + 1}{x - \sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{x - \sqrt{x}} $$ Do đó: $$ A = \left( 1 + \frac{1}{x + \sqrt{x}} - 1 - \frac{1}{x - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{x^2 + x\sqrt{x} - x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $$ $$ = \left( \frac{1}{x + \sqrt{x}} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{x^2 + x\sqrt{x} - x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $$ Tiếp theo, ta quy đồng hai phân thức trong ngoặc: $$ \frac{1}{x + \sqrt{x}} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} = \frac{(x - \sqrt{x}) - (x + \sqrt{x})}{(x + \sqrt{x})(x - \sqrt{x})} $$ $$ = \frac{x - \sqrt{x} - x - \sqrt{x}}{x^2 - (\sqrt{x})^2} = \frac{-2\sqrt{x}}{x^2 - x} $$ $$ = \frac{-2\sqrt{x}}{x(x - 1)} $$ Bây giờ, ta thay vào biểu thức ban đầu: $$ A = \left( \frac{-2\sqrt{x}}{x(x - 1)} \right) \cdot \frac{x^2 + x\sqrt{x} - x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $$ Ta thấy rằng: $$ x^2 + x\sqrt{x} - x - \sqrt{x} = x(x + \sqrt{x} - 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}) $$ Do đó: $$ A = \left( \frac{-2\sqrt{x}}{x(x - 1)} \right) \cdot \frac{x(x + \sqrt{x} - 1 - \frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x} + 1} $$ Chúng ta nhận thấy rằng các biểu thức $ x(x + \sqrt{x} - 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}) $ và $ x(x - 1) $ sẽ triệt tiêu lẫn nhau: $$ A = \frac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $$ Cuối cùng, ta nhận thấy rằng biểu thức này không phụ thuộc vào $ x $: $$ A = -2 $$ Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến $ x $. Câu 3 Thay $a=3$ vào hệ phương trình, ta có: $$ \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 3 \ |x + 1| + y = 2 \end{array} \right. $$ Từ phương trình đầu tiên, ta có: $$ y = 3 - 3x $$ Thay vào phương trình thứ hai: $$ |x + 1| + (3 - 3x) = 2 $$ $$ |x + 1| = 2 - 3 + 3x $$ $$ |x + 1| = 3x - 1 $$ Ta xét hai trường hợp: 1. Trường hợp 1: $ x + 1 \geq 0 $ (tức là $ x \geq -1 $) $$ x + 1 = 3x - 1 $$ $$ 1 + 1 = 3x - x $$ $$ 2 = 2x $$ $$ x = 1 $$ Thay $ x = 1 $ vào $ y = 3 - 3x $: $$ y = 3 - 3(1) = 0 $$ 2. Trường hợp 2: $ x + 1 < 0 $ (tức là $ x < -1 $) $$ -(x + 1) = 3x - 1 $$ $$ -x - 1 = 3x - 1 $$ $$ -x - 3x = -1 + 1 $$ $$ -4x = 0 $$ $$ x = 0 $$ Nhưng $ x = 0 $ không thỏa mãn điều kiện $ x < -1 $, nên trường hợp này bị loại. Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $$ (x, y) = (1, 0) $$ Câu 4 Gọi số hàng cây là x (hàng, điều kiện: x > 0). Nếu mỗi hàng trồng 10 cây thì 5 cây không có chỗ trồng, tức là tổng số cây là 10x + 5. Nếu mỗi hàng trồng 11 cây thì lại thừa 1 hàng, tức là tổng số cây là 11(x - 1). Ta có phương trình: $$ 10x + 5 = 11(x - 1) $$ Giải phương trình: $$ 10x + 5 = 11x - 11 $$ $$ 5 + 11 = 11x - 10x $$ $$ 16 = x $$ Vậy số hàng cây là 16 hàng. Tổng số cây là: $$ 10 \times 16 + 5 = 160 + 5 = 165 \text{ cây} $$ Đáp số: 16 hàng cây, 165 cây. Câu 5 a) Ta có: $\widehat{DAO}=\widehat{BAO}$ (giao tuyến chung OA và hai tiếp tuyến tại A và B) $\widehat{ADO}=\widehat{ABO}=90^\circ$ (tính chất tiếp tuyến) Do đó $\Delta DAO = \Delta BAO$ (cạnh huyền và 1 góc nhọn) $\Rightarrow \widehat{AOD}=\widehat{AOB}$ Mà $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=180^\circ$ (cùng chắn cung AC) $\Rightarrow \widehat{AOD}+\widehat{BOC}=180^\circ$ $\Rightarrow$ Các điểm O, A, D, B cùng thuộc một đường tròn. b) Ta có $\widehat{EAC}=\widehat{EAD}+\widehat{DAC}$ $=\widehat{EAD}+\widehat{DBA}$ (giao tuyến chung AD và 2 tiếp tuyến tại A và B) $=90^\circ-\widehat{AOD}+\widehat{DBA}$ (tính chất đường kính vuông góc dây cung) $=90^\circ-\widehat{AOB}+\widehat{DBA}$ (chứng minh ở phần trên) $=90^\circ-\widehat{ABC}+\widehat{DBA}$ (tính chất đường kính) $=90^\circ-\widehat{CBA}+\widehat{DBA}$ (tính chất tam giác vuông) $=90^\circ-\widehat{CBO}+\widehat{DBO}$ (tính chất đường kính) $=90^\circ-\widehat{DBO}+\widehat{DBO}$ (chứng minh ở phần trên) $=90^\circ$ $\Rightarrow EC$ là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). Câu 6 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý余弦定理来求解两艘船之间的距离。首先，我们需要计算每艘船在1.5小时后行驶的距离。 - 船B的速度为20海里/小时，因此1.5小时后它行驶的距离为： $$ AB = 20 \times 1.5 = 30 \text{ 海里} $$ - 船C的速度为15海里/小时，因此1.5小时后它行驶的距离为： $$ AC = 15 \times 1.5 = 22.5 \text{ 海里} $$ 现在我们已知三角形ABC的两边AB和AC的长度，以及它们之间的夹角为60度。我们可以使用余弦定理来求解BC的长度。余弦定理公式为： $$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ) $$ 代入已知值： $$ BC^2 = 30^2 + 22.5^2 - 2 \cdot 30 \cdot 22.5 \cdot \cos(60^\circ) $$ $$ BC^2 = 900 + 506.25 - 2 \cdot 30 \cdot 22.5 \cdot 0.5 $$ $$ BC^2 = 900 + 506.25 - 675 $$ $$ BC^2 = 731.25 $$ 取平方根得到BC的长度： $$ BC = \sqrt{731.25} \approx 27.04 \text{ 海里} $$ 所以，1.5小时后两艘船之间的距离约为27.04海里（结果保留两位小数）。答案：27.04海里。 Câu 7 Điều kiện xác định: $ x \geq 1 $. Bước 1: Đặt $ t = \sqrt{x-1} $ (với $ t \geq 0 $). Bước 2: Thay vào phương trình: $$ (\sqrt{x-1}+1)^3 + 2\sqrt{x-1} = 2 - x $$ $$ (t + 1)^3 + 2t = 2 - (t^2 + 1) $$ Bước 3: Mở ngoặc và thu gọn: $$ t^3 + 3t^2 + 3t + 1 + 2t = 2 - t^2 - 1 $$ $$ t^3 + 3t^2 + 5t + 1 = 1 - t^2 $$ $$ t^3 + 4t^2 + 5t = 0 $$ Bước 4: Factorize: $$ t(t^2 + 4t + 5) = 0 $$ Bước 5: Giải phương trình: $$ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t^2 + 4t + 5 = 0 $$ Phương trình $ t^2 + 4t + 5 = 0 $ không có nghiệm thực vì $ \Delta = 16 - 20 = -4 < 0 $. Do đó, $ t = 0 $. Bước 6: Quay lại biến ban đầu: $$ \sqrt{x-1} = 0 $$ $$ x - 1 = 0 $$ $$ x = 1 $$ Vậy nghiệm của phương trình là $ x = 1 $.