Cho đường tròn O bán kính r r lớn hơn 0 và dây cung BC cố định điểm A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác abc có ba góc nhọn kẻ các đường cao AD be của tam giác ABC cắt nhau tại H và Be cắt đường tròn O tại F đường kính am của đường tròn O và OI
vuông góc với BC tại I Chứng minh I là trung điểm của HM và tính AH biết BC = R căn 3

Question

Accepted Answer

Để chứng minh I là trung điểm của HM và tính AH, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Chứng minh I là trung điểm của HM:
   - Vì OI vuông góc với BC tại I, nên I là trung điểm của BC.
   - Ta có AM là đường kính của đường tròn, do đó góc BAM là góc vuông (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
   - Vì BE là đường cao của tam giác ABC, nên BE vuông góc với AC tại E.
   - Do đó, tứ giác AEBH nội tiếp (vì có hai góc đối nhau đều là góc vuông).
   - Từ đó, ta có góc BAH = góc BEH (cùng chắn cung BH).
   - Vì AM là đường kính, nên góc BAM = 90°, do đó góc BAM = góc BAH + góc HAM = 90°.
   - Vì góc BAM = 90° và góc BAM = góc BAH + góc HAM, nên góc HAM = 90° - góc BAH.
   - Vì góc BAH = góc BEH, nên góc HAM = 90° - góc BEH.
   - Vì góc BEH = 90° - góc HBE (tổng các góc trong tam giác BEH là 180°), nên góc HAM = góc HBE.
   - Từ đó, ta có tam giác HAM đồng dạng với tam giác HBE (góc HAM = góc HBE và góc HMA = góc HEB = 90°).
   - Vì tam giác HAM đồng dạng với tam giác HBE, nên tỉ lệ các cạnh tương ứng bằng nhau, tức là $\frac{HA}{HB} = \frac{HM}{HE}$.
   - Vì HE = EB (do BE là đường cao), nên $\frac{HA}{HB} = \frac{HM}{EB}$.
   - Vì EB = BC/2 (do I là trung điểm của BC), nên $\frac{HA}{HB} = \frac{HM}{BC/2}$.
   - Vì BC = R√3, nên $\frac{HA}{HB} = \frac{HM}{R√3/2}$.
   - Vì HA = HB (do tam giác HAB cân tại H), nên HM = R√3/2.
   - Vì HM = R√3/2 và I là trung điểm của BC, nên I cũng là trung điểm của HM.

2. Tính AH:
   - Vì tam giác HAB cân tại H, nên HA = HB.
   - Vì HM = R√3/2 và I là trung điểm của HM, nên HI = HM/2 = R√3/4.
   - Vì AM là đường kính, nên AM = 2R.
   - Vì I là trung điểm của BC, nên BI = BC/2 = R√3/2.
   - Vì OI vuông góc với BC tại I, nên tam giác OIB là tam giác vuông tại I.
   - Vì OI = R - HI = R - R√3/4 = R(1 - √3/4), nên OB = R.
   - Vì OB = R và BI = R√3/2, nên OI = R - R√3/4 = R(1 - √3/4).
   - Vì tam giác OIB là tam giác vuông tại I, nên ta có OI² + BI² = OB².
   - Thay các giá trị vào, ta có [R(1 - √3/4)]² + (R√3/2)² = R².
   - Giải phương trình này, ta tìm được R = 2.
   - Vì R = 2, nên BC = 2√3.
   - Vì BC = 2√3 và I là trung điểm của BC, nên BI = √3.
   - Vì OI = R - HI = 2 - √3/2 = 2 - √3/2, nên OI = 2 - √3/2.
   - Vì tam giác OIB là tam giác vuông tại I, nên ta có OI² + BI² = OB².
   - Thay các giá trị vào, ta có (2 - √3/2)² + (√3)² = 2².
   - Giải phương trình này, ta tìm được AH = 2.

Vậy, I là trung điểm của HM và AH = 2.

Cho đường tròn O bán kính r r lớn hơn 0 và dây cung BC cố định điểm A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác abc có ba góc nhọn kẻ các đường cao AD be của tam giác ABC cắt nhau tại H và Be cắt đườ...