gúuppoppooo

Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của đường parabol (P) và đường thẳng BC. 2. Tìm điểm M trên đường parabol (P) sao cho đoạn thẳng MH ngắn nhất. 3. Tính độ dài đoạn thẳng MH. Bước 1: Xác định phương trình của đường parabol (P) và đường thẳng BC. - Đường parabol (P) có đỉnh $I(0;4)$ và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $x_1 = -2$ và $x_2 = 2$. Phương trình của đường parabol có dạng: \[ y = a(x + 2)(x - 2) \] Thay điểm đỉnh $I(0;4)$ vào phương trình: \[ 4 = a(0 + 2)(0 - 2) \Rightarrow 4 = -4a \Rightarrow a = -1 \] Vậy phương trình của đường parabol là: \[ y = -(x + 2)(x - 2) = -x^2 + 4 \] - Đường thẳng BC đi qua điểm $B\left(\frac{345}{48}; 0\right)$ và điểm $N\left(0; \frac{345}{64}\right)$. Phương trình đường thẳng có dạng: \[ y = mx + n \] Thay điểm $N(0; \frac{345}{64})$ vào phương trình: \[ \frac{345}{64} = m \cdot 0 + n \Rightarrow n = \frac{345}{64} \] Thay điểm $B\left(\frac{345}{48}; 0\right)$ vào phương trình: \[ 0 = m \cdot \frac{345}{48} + \frac{345}{64} \Rightarrow m \cdot \frac{345}{48} = -\frac{345}{64} \Rightarrow m = -\frac{64}{48} = -\frac{4}{3} \] Vậy phương trình của đường thẳng BC là: \[ y = -\frac{4}{3}x + \frac{345}{64} \] Bước 2: Tìm điểm M trên đường parabol (P) sao cho đoạn thẳng MH ngắn nhất. Để đoạn thẳng MH ngắn nhất, đoạn thẳng MH phải vuông góc với đường thẳng BC. Gọi M có tọa độ $(x_0, y_0)$ trên đường parabol (P). Phương trình tiếp tuyến của đường parabol tại điểm M là: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Trong đó, $f(x) = -x^2 + 4$, suy ra $f'(x) = -2x$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: \[ y - (-x_0^2 + 4) = -2x_0(x - x_0) \] \[ y + x_0^2 - 4 = -2x_0x + 2x_0^2 \] \[ y = -2x_0x + x_0^2 + 4 \] Để đoạn thẳng MH vuông góc với đường thẳng BC, hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng $\frac{3}{4}$ (vì tích của hai hệ số góc vuông góc là -1): \[ -2x_0 = \frac{3}{4} \Rightarrow x_0 = -\frac{3}{8} \] Thay $x_0 = -\frac{3}{8}$ vào phương trình của đường parabol để tìm $y_0$: \[ y_0 = -\left(-\frac{3}{8}\right)^2 + 4 = -\frac{9}{64} + 4 = \frac{256 - 9}{64} = \frac{247}{64} \] Vậy tọa độ của điểm M là $\left(-\frac{3}{8}, \frac{247}{64}\right)$. Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng MH. Điểm H nằm trên đường thẳng BC, thay $x = -\frac{3}{8}$ vào phương trình của đường thẳng BC: \[ y = -\frac{4}{3}\left(-\frac{3}{8}\right) + \frac{345}{64} = \frac{1}{2} + \frac{345}{64} = \frac{32 + 345}{64} = \frac{377}{64} \] Vậy tọa độ của điểm H là $\left(-\frac{3}{8}, \frac{377}{64}\right)$. Độ dài đoạn thẳng MH là: \[ MH = \sqrt{\left(-\frac{3}{8} + \frac{3}{8}\right)^2 + \left(\frac{247}{64} - \frac{377}{64}\right)^2} = \sqrt{0 + \left(\frac{-130}{64}\right)^2} = \frac{130}{64} = \frac{65}{32} \] Đổi đơn vị từ mét sang 10 mét: \[ MH = \frac{65}{32} \times 10 = \frac{650}{32} = 20.3125 \text{ mét} \] Vậy chiều dài của cây cầu là 20.3125 mét.