Úudhdhdhdhd Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua hai điểm $A(0;1;-2),$,$B(1;2;-1)$ và mặt phẳng $(P):~x+y-z+2007=0.$ Ssincủa góc giữa đường,thẳng d và mặt phẳng (P) bằng,$\circ\frac1{\sqrt3}.$

Question

Accepted Answer

Để tìm góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$:
   - Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A(0;1;-2)$ và $B(1;2;-1)$.
   - Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{AB}$:
     $$
     \overrightarrow{AB} = B - A = (1-0, 2-1, -1-(-2)) = (1, 1, 1)
     $$

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$:
   - Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x + y - z + 2007 = 0$.
   - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (1, 1, -1)$.

3. Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$:
   - Gọi góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là $\theta$.
   - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
   - Ta có công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$:
     $$
     \cos \phi = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|}
     $$
   - Ở đây, $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = (1, 1, 1)$ và $\overrightarrow{v} = \vec{n} = (1, 1, -1)$.

- Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$:
     $$
     \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 + 1 - 1 = 1
     $$

- Tính độ dài của các vectơ:
     $$
     |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}
     $$
     $$
     |\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}
     $$

- Tính cosin của góc $\phi$:
     $$
     \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}
     $$

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là:
     $$
     \sin \theta = \cos \phi = \frac{1}{3}
     $$

Vậy, góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là $\theta$ sao cho $\sin \theta = \frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: $\frac{1}{3}$.