helpppppppppp 6. Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích V (lít) của lượng,xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng t (phút) được cho bởi công thức,$V(t)=300(t^2-t^3)+4$ với $0\leq t\leq0,5.$,(Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson),a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?,b) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao,nhiêu lít? = đổi 1/2p thay t= 1/2.,c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi V'(t) là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm t với,$0\leq t\leq0,5.$ Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?,7. Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ,của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức,$V=k(R-r)r^2$ với $0\leq r

Question

helpppppppppp 6. Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích V (lít) của lượng,xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng t (phút) được cho bởi công thức,$V(t)=300(t^2-t^3)+4$ với $0\leq t\leq0,5.$,(Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson),a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?,b) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao,nhiêu lít? => đổi 1/2p thay t= 1/2.,c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi V'(t) là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm t với,$0\leq t\leq0,5.$ Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?,7. Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ,của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức,$V=k(R-r)r^2$ với $0\leq r<R.$,trong đó k là hằng số, R là bán kính bình thường của khí quản, r là bán kính khí quản,khi ho (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Hỏi bán kính của,khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?

Accepted Answer

6. a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng? Ban đầu tức là khi $ t = 0 $: $$ V(0) = 300(0^2 - 0^3) + 4 = 4 \text{ lít} $$ b) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít? 30 giây tức là $ t = 0,5 $: $$ V(0,5) = 300((0,5)^2 - (0,5)^3) + 4 = 300(0,25 - 0,125) + 4 = 300 \times 0,125 + 4 = 37,5 + 4 = 41,5 \text{ lít} $$ c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi $ V'(t) $ là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm $ t $ với $ 0 \leq t \leq 0,5 $. Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất? Tính đạo hàm của $ V(t) $: $$ V(t) = 300(t^2 - t^3) + 4 $$ $$ V'(t) = 300(2t - 3t^2) = 600t - 900t^2 $$ Để tìm giá trị $ t $ làm cho $ V'(t) $ đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm đạo hàm của $ V'(t) $ và đặt nó bằng 0: $$ V''(t) = 600 - 1800t $$ $$ 600 - 1800t = 0 $$ $$ 1800t = 600 $$ $$ t = \frac{1}{3} $$ Kiểm tra $ V''(t) $ tại $ t = \frac{1}{3} $: $$ V''\left(\frac{1}{3}\right) = 600 - 1800 \times \frac{1}{3} = 600 - 600 = 0 $$ Do đó, ta kiểm tra thêm các giá trị cận: $$ V'\left(0\right) = 600 \times 0 - 900 \times 0^2 = 0 $$ $$ V'\left(0,5\right) = 600 \times 0,5 - 900 \times (0,5)^2 = 300 - 225 = 75 $$ Vậy tốc độ tăng thể tích lớn nhất xảy ra khi $ t = 0,5 $. 7. Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức $ V = k(R - r)r^2 $ với $ 0 \leq r < R $. Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất? Tính đạo hàm của $ V $ theo $ r $: $$ V = k(R - r)r^2 $$ $$ V' = k \left[ (R - r) \cdot 2r + r^2 \cdot (-1) \right] = k \left[ 2Rr - 2r^2 - r^2 \right] = k \left[ 2Rr - 3r^2 \right] $$ Đặt $ V' = 0 $: $$ 2Rr - 3r^2 = 0 $$ $$ r(2R - 3r) = 0 $$ Có hai nghiệm: $$ r = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2R - 3r = 0 $$ $$ r = \frac{2R}{3} $$ Kiểm tra đạo hàm thứ hai: $$ V'' = k \left[ 2R - 6r \right] $$ Tại $ r = \frac{2R}{3} $: $$ V''\left(\frac{2R}{3}\right) = k \left[ 2R - 6 \times \frac{2R}{3} \right] = k \left[ 2R - 4R \right] = -2kR $$ Vì $ k > 0 $ và $ R > 0 $, nên $ V''\left(\frac{2R}{3}\right) < 0 $, do đó $ r = \frac{2R}{3} $ là điểm cực đại. Vậy bán kính của khí quản khi ho bằng $ \frac{2R}{3} $ thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất.