Gupppppppppp Điểm lời phê cuả thầy cô giáo,Câu 1: Đường thẳng $\Delta$ đi qua $B(3;2;-1)$ và,vuông góc với mp $P(P)~2x-5y+6z-7=0$,Viết Phương trình tham số của $\Delta$,Câu 2: xét vị trí tương đến giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$,$A_1;\frac{x+7}5=\frac{y-1}{-7}=\frac{z+2}{-2}$,$\Delta_2:~x=-5-3t$,$\begin{array}ly=-10-4t\z=3+7t\end{array}$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $B(3;2;-1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): 2x - 5y + 6z - 7 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
   Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x - 5y + 6z - 7 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (2, -5, 6)$.

2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:
   Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$, nên vectơ chỉ phương của $\Delta$ sẽ trùng với vectơ pháp tuyến của $(P)$. Do đó, vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{d} = (2, -5, 6)$.

3. Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $B(3;2;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{d} = (2, -5, 6)$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x = 3 + 2t \
   y = 2 - 5t \
   z = -1 + 6t
   \end{array}
   \right.
   $$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = 3 + 2t \
y = 2 - 5t \
z = -1 + 6t
\end{array}
\right.
$$

Câu 2:
Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta cần kiểm tra xem chúng có cắt nhau hay song song.

Đầu tiên, ta viết lại phương trình của $\Delta_1$ dưới dạng tham số:
$$
\Delta_1: \frac{x+7}{5} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z+2}{-2} = t
$$
Từ đó ta có:
$$
x = -7 + 5t, \quad y = 1 - 7t, \quad z = -2 - 2t
$$

Phương trình của $\Delta_2$ đã cho là:
$$
\Delta_2: x = -5 - 3t', \quad y = -10 - 4t', \quad z = 3 + 7t'
$$

Bây giờ, ta so sánh các vector chỉ phương của hai đường thẳng:
- Vector chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{d_1} = (5, -7, -2)$.
- Vector chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{d_2} = (-3, -4, 7)$.

Ta kiểm tra xem hai vector này có tỉ lệ với nhau hay không:
$$
\frac{5}{-3} \neq \frac{-7}{-4} \neq \frac{-2}{7}
$$
Vì các tỉ số không bằng nhau, nên hai đường thẳng không song song.

Tiếp theo, ta kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không bằng cách giả sử chúng cắt nhau tại điểm $(x, y, z)$. Ta sẽ tìm $t$ và $t'$ sao cho:
$$
-7 + 5t = -5 - 3t' \quad (1)
$$
$$
1 - 7t = -10 - 4t' \quad (2)
$$
$$
-2 - 2t = 3 + 7t' \quad (3)
$$

Giải hệ phương trình này:
Từ phương trình (1):
$$
5t + 3t' = 2 \quad \Rightarrow \quad 5t + 3t' = 2 \quad (4)
$$

Từ phương trình (2):
$$
-7t + 4t' = -11 \quad \Rightarrow \quad -7t + 4t' = -11 \quad (5)
$$

Từ phương trình (3):
$$
-2t - 7t' = 5 \quad \Rightarrow \quad -2t - 7t' = 5 \quad (6)
$$

Ta giải hệ phương trình (4) và (5):
Nhân phương trình (4) với 4 và nhân phương trình (5) với 3:
$$
20t + 12t' = 8 \quad (7)
$$
$$
-21t + 12t' = -33 \quad (8)
$$

Trừ phương trình (8) từ phương trình (7):
$$
(20t + 12t') - (-21t + 12t') = 8 - (-33)
$$
$$
41t = 41 \quad \Rightarrow \quad t = 1
$$

Thay $t = 1$ vào phương trình (4):
$$
5(1) + 3t' = 2 \quad \Rightarrow \quad 5 + 3t' = 2 \quad \Rightarrow \quad 3t' = -3 \quad \Rightarrow \quad t' = -1
$$

Kiểm tra lại với phương trình (6):
$$
-2(1) - 7(-1) = -2 + 7 = 5
$$
Phương trình đúng, vậy $t = 1$ và $t' = -1$ là nghiệm của hệ phương trình.

Do đó, hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại điểm:
$$
x = -7 + 5(1) = -2, \quad y = 1 - 7(1) = -6, \quad z = -2 - 2(1) = -4
$$

Vậy, hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại điểm $(-2, -6, -4)$.