nnnnnnnnnnnnnn

Câu 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt. Trước tiên, tính đạo hàm của hàm số $f(x)$: \[ f(x) = \frac{2x^2 - 2x + 2}{x - 1} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(2x^2 - 2x + 2)'(x - 1) - (2x^2 - 2x + 2)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(4x - 2)(x - 1) - (2x^2 - 2x + 2)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{4x^2 - 4x - 2x + 2 - 2x^2 + 2x - 2}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 - 4x}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Phương trình $f'(x) = 0$: \[ \frac{2x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ 2x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Vậy phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt là $x = 0$ và $x = 2$. Đáp án đúng. b) Bảng biến thiên của hàm số. Bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ dựa trên đạo hàm $f'(x)$: - Khi $x < 0$, $f'(x) < 0$ nên hàm số giảm. - Khi $0 < x < 1$, $f'(x) > 0$ nên hàm số tăng. - Khi $1 < x < 2$, $f'(x) < 0$ nên hàm số giảm. - Khi $x > 2$, $f'(x) > 0$ nên hàm số tăng. Điều này phù hợp với bảng biến thiên đã cho. Đáp án đúng. c) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. Hàm số $f(x) = \frac{2x^2 - 2x + 2}{x - 1}$ có đường tiệm cận đứng tại $x = 1$ vì mẫu số bằng 0 tại điểm này. Đường tiệm cận ngang có thể tìm bằng cách tính giới hạn khi $x \to \pm \infty$: \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 - 2x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} 2x = \pm \infty \] Vậy hàm số không có đường tiệm cận ngang. Đáp án sai. d) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là $(1;2)$. Để kiểm tra tâm đối xứng, ta cần kiểm tra tính chất của hàm số: \[ f(1 + x) + f(1 - x) = 2 \] Thay vào: \[ f(1 + x) = \frac{2(1 + x)^2 - 2(1 + x) + 2}{(1 + x) - 1} = \frac{2(1 + 2x + x^2) - 2 - 2x + 2}{x} = \frac{2 + 4x + 2x^2 - 2 - 2x + 2}{x} = \frac{2x^2 + 2x + 2}{x} = 2x + 2 + \frac{2}{x} \] \[ f(1 - x) = \frac{2(1 - x)^2 - 2(1 - x) + 2}{(1 - x) - 1} = \frac{2(1 - 2x + x^2) - 2 + 2x + 2}{-x} = \frac{2 - 4x + 2x^2 - 2 + 2x + 2}{-x} = \frac{2x^2 - 2x + 2}{-x} = -2x - 2 - \frac{2}{x} \] \[ f(1 + x) + f(1 - x) = (2x + 2 + \frac{2}{x}) + (-2x - 2 - \frac{2}{x}) = 0 \] Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $(1;2)$. Đáp án đúng. Kết luận: Các đáp án đúng là: - a) Phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt. - b) Bảng biến thiên của hàm số. - d) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là $(1;2)$. Câu 3: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt tính toán các tứ phân vị và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho. Bước 1: Xác định số phần tử của mẫu Số phần tử của mẫu là tổng tần số của tất cả các nhóm: \[ n = 125 + 100 + 35 + 30 + 10 = 300 \] Bước 2: Tìm tứ phân vị thứ nhất (Q1) Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị nằm ở vị trí $\frac{n}{4} = \frac{300}{4} = 75$. - Nhóm [0; 60) có tần số là 125, bao gồm từ 1 đến 125. - Nhóm [60; 120) có tần số là 100, bao gồm từ 126 đến 225. Vì 75 nằm trong khoảng từ 1 đến 125, nên Q1 thuộc nhóm [0; 60). Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ hai (Q2) Tứ phân vị thứ hai (Q2) là giá trị nằm ở vị trí $\frac{2n}{4} = \frac{600}{4} = 150$. - Nhóm [0; 60) có tần số là 125, bao gồm từ 1 đến 125. - Nhóm [60; 120) có tần số là 100, bao gồm từ 126 đến 225. Vì 150 nằm trong khoảng từ 126 đến 225, nên Q2 thuộc nhóm [60; 120). Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba (Q3) Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị nằm ở vị trí $\frac{3n}{4} = \frac{900}{4} = 225$. - Nhóm [0; 60) có tần số là 125, bao gồm từ 1 đến 125. - Nhóm [60; 120) có tần số là 100, bao gồm từ 126 đến 225. - Nhóm [120; 180) có tần số là 35, bao gồm từ 226 đến 260. Vì 225 nằm trong khoảng từ 126 đến 225, nên Q3 thuộc nhóm [60; 120). Bước 5: Tính khoảng tứ phân vị Khoảng tứ phân vị là Q3 - Q1. - Q1 thuộc nhóm [0; 60), do đó Q1 = 60. - Q3 thuộc nhóm [60; 120), do đó Q3 = 120. Khoảng tứ phân vị là: \[ Q3 - Q1 = 120 - 60 = 60 \] Kết luận - Số phần tử của mẫu là \( n = 300 \). - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) thuộc nhóm [0; 60). - Tứ phân vị thứ hai (Q2) thuộc nhóm [60; 120). - Tứ phân vị thứ ba (Q3) thuộc nhóm [60; 120). - Khoảng tứ phân vị là 60. Do đó, các phát biểu đúng là: a) Số phần tử của mẫu là \( n = 300 \). b) Tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc cùng một nhóm. c) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nhóm [120; 180) (sai). d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 144 (sai). Câu 4: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Tính đạo hàm của hàm số: \[ f(x) = -x^3 + 3x + 10 \] \[ f'(x) = -3x^2 + 3 \] Tại điểm \( x = 0 \): \[ f'(0) = -3(0)^2 + 3 = 3 \] Vậy, \( f'(0) = 3 \) là đúng. b) Xác định khoảng nghịch biến của hàm số: Hàm số nghịch biến khi đạo hàm \( f'(x) < 0 \). \[ f'(x) = -3x^2 + 3 < 0 \] \[ -3x^2 + 3 < 0 \] \[ 3 - 3x^2 < 0 \] \[ 3 < 3x^2 \] \[ 1 < x^2 \] \[ x^2 > 1 \] Giải bất phương trình \( x^2 > 1 \): \[ x < -1 \quad \text{hoặc} \quad x > 1 \] Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \). Do đó, khẳng định "hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-1, 1) \)" là sai. c) Tìm điểm cực tiểu của hàm số: Điểm cực tiểu xảy ra khi đạo hàm \( f'(x) = 0 \) và đạo hàm hai lần \( f''(x) > 0 \). \[ f'(x) = -3x^2 + 3 = 0 \] \[ -3x^2 + 3 = 0 \] \[ 3 = 3x^2 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = -1 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Kiểm tra đạo hàm hai lần: \[ f''(x) = -6x \] Tại \( x = -1 \): \[ f''(-1) = -6(-1) = 6 > 0 \] Tại \( x = 1 \): \[ f''(1) = -6(1) = -6 < 0 \] Vậy, điểm cực tiểu là \( x = -1 \). Tính giá trị của hàm số tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 10 = 1 - 3 + 10 = 8 \] Do đó, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \( (-1, 8) \). Khẳng định này là đúng. d) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: Ta đã biết rằng hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \). Tính giá trị của hàm số tại \( x = 1 \): \[ f(1) = -(1)^3 + 3(1) + 10 = -1 + 3 + 10 = 12 \] Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là 12, đạt được khi \( x = 1 \). Khẳng định này là đúng. Kết luận: - Đáp án đúng là: a, c, d. Câu 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = \frac{1}{2}x - \sqrt{x+1} \) trên đoạn \([0;3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x - \sqrt{x+1}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \] 2. Xác định các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \] \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = 0 \] \[ \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \] \[ 1 = \frac{1}{\sqrt{x+1}} \] \[ \sqrt{x+1} = 1 \] \[ x + 1 = 1 \] \[ x = 0 \] 3. Kiểm tra các giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = \frac{1}{2}(0) - \sqrt{0+1} = -1 \] - Tại \( x = 3 \): \[ f(3) = \frac{1}{2}(3) - \sqrt{3+1} = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{1}{2} \] 4. So sánh các giá trị để xác định giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất: - \( f(0) = -1 \) - \( f(3) = -\frac{1}{2} \) Như vậy, giá trị nhỏ nhất \( m = -1 \) và giá trị lớn nhất \( M = -\frac{1}{2} \). 5. Tính tổng \( 2M + 3m \): \[ 2M + 3m = 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 3(-1) = -1 - 3 = -4 \] Vậy tổng \( 2M + 3m \) có giá trị là \(-4\).