cuuuyyyyyyyyyyy

Câu 4. Để giải quyết các yêu cầu trong đề bài, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Xác định giá trị đại diện của mỗi nhóm Giá trị đại diện của mỗi nhóm được tính bằng cách lấy trung điểm của khoảng đó. - Nhóm [25; 30): Giá trị đại diện là $\frac{25 + 30}{2} = 27.5$ - Nhóm [30; 35): Giá trị đại diện là $\frac{30 + 35}{2} = 32.5$ - Nhóm [35; 40): Giá trị đại diện là $\frac{35 + 40}{2} = 37.5$ - Nhóm [40; 45): Giá trị đại diện là $\frac{40 + 45}{2} = 42.5$ - Nhóm [45; 50): Giá trị đại diện là $\frac{45 + 50}{2} = 47.5$ - Nhóm [50; 55): Giá trị đại diện là $\frac{50 + 55}{2} = 52.5$ Bước 2: Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm Số trung bình được tính bằng cách lấy tổng của tích giữa giá trị đại diện của mỗi nhóm và tần số của nhóm đó, chia cho tổng tần số. \[ \text{Số trung bình} = \frac{\sum (giá trị đại diện \times tần số)}{\sum tần số} \] Tổng tần số: \[ 14 + 17 + 39 + 24 + 11 + 6 = 111 \] Tích giữa giá trị đại diện và tần số: \[ (27.5 \times 14) + (32.5 \times 17) + (37.5 \times 39) + (42.5 \times 24) + (47.5 \times 11) + (52.5 \times 6) \] \[ = 385 + 552.5 + 1462.5 + 1020 + 522.5 + 315 \] \[ = 4257.5 \] Số trung bình: \[ \frac{4257.5}{111} \approx 38.36 \] Bước 3: Tìm số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm Số trung vị là giá trị ở giữa của dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Với tổng tần số là 111, số trung vị nằm ở vị trí $\frac{111 + 1}{2} = 56$. Ta thấy rằng nhóm [35; 40) bao gồm các giá trị từ 39 đến 40, và tần số của nhóm này là 39. Do đó, số trung vị nằm trong nhóm [35; 40). Số trung vị: \[ 35 + \left(\frac{56 - (14 + 17)}{39}\right) \times 5 = 35 + \left(\frac{25}{39}\right) \times 5 \approx 37.5 \] Bước 4: Xác định độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm Độ lệch chuẩn được tính bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai. Phương sai được tính bằng cách lấy tổng của tích giữa bình phương hiệu giữa giá trị đại diện của mỗi nhóm và số trung bình, nhân với tần số của nhóm đó, chia cho tổng tần số. \[ \text{Phương sai} = \frac{\sum (giá trị đại diện - số trung bình)^2 \times tần số}{\sum tần số} \] Bình phương hiệu giữa giá trị đại diện và số trung bình: \[ (27.5 - 38.36)^2 \times 14 + (32.5 - 38.36)^2 \times 17 + (37.5 - 38.36)^2 \times 39 + (42.5 - 38.36)^2 \times 24 + (47.5 - 38.36)^2 \times 11 + (52.5 - 38.36)^2 \times 6 \] \[ = 119.04 \times 14 + 34.56 \times 17 + 0.7396 \times 39 + 17.3056 \times 24 + 82.6576 \times 11 + 199.04 \times 6 \] \[ = 1666.56 + 587.52 + 28.8444 + 415.3344 + 909.2336 + 1194.24 \] \[ = 4801.7324 \] Phương sai: \[ \frac{4801.7324}{111} \approx 43.26 \] Độ lệch chuẩn: \[ \sqrt{43.26} \approx 6.57 \] Kết luận - Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là 6,57. - Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 37,5. - Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 38,36. - Giá trị đại diện của nhóm [35; 40) là 37,5. Do đó, các đáp án đúng là: a) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm) là 6,57. b) Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng 37,5. c) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm) là 38,36. d) Giá trị đại diện của nhóm [35; 40) là 37,5. Câu 1. Gọi chiều rộng của bể cá là \( x \) (m), chiều dài của bể cá là \( 2x \) (m), chiều cao của bể cá là \( h \) (m). Diện tích toàn phần của bể cá (không nắp) là: \[ S = 2xh + 2(2x)h + x(2x) = 2xh + 4xh + 2x^2 = 6xh + 2x^2 \] Theo đề bài, diện tích toàn phần của bể cá bằng 18 m², nên ta có: \[ 6xh + 2x^2 = 18 \] \[ 3xh + x^2 = 9 \] \[ h = \frac{9 - x^2}{3x} \] Dung tích của bể cá là: \[ V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2 \cdot \frac{9 - x^2}{3x} = \frac{2x(9 - x^2)}{3} = \frac{18x - 2x^3}{3} = 6x - \frac{2x^3}{3} \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta tính đạo hàm của \( V \) theo \( x \): \[ V' = 6 - 2x^2 \] Đặt \( V' = 0 \): \[ 6 - 2x^2 = 0 \] \[ 2x^2 = 6 \] \[ x^2 = 3 \] \[ x = \sqrt{3} \quad (\text{vì } x > 0) \] Thay \( x = \sqrt{3} \) vào biểu thức của \( h \): \[ h = \frac{9 - (\sqrt{3})^2}{3\sqrt{3}} = \frac{9 - 3}{3\sqrt{3}} = \frac{6}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \] Thay \( x = \sqrt{3} \) và \( h = \frac{2\sqrt{3}}{3} \) vào biểu thức của \( V \): \[ V = 6\sqrt{3} - \frac{2(\sqrt{3})^3}{3} = 6\sqrt{3} - \frac{2 \cdot 3\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \] Vậy ông An có thể làm được cái bể cá có dung tích lớn nhất bằng khoảng 6.93 mét khối. Đáp số: 6.93 m³. Câu 2. Để tìm khoảng tử phân vị của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng dữ liệu: Tổng số lượng dữ liệu là: \[ n = 7 + 19 + 7 + 13 + 9 + 5 = 60 \] 2. Tìm vị trí của tử phân vị: Tử phân vị là giá trị chia dãy số liệu thành 4 phần bằng nhau. Ta tính vị trí của tử phân vị thứ 1 (Q1), tử phân vị thứ 2 (Q2) và tử phân vị thứ 3 (Q3). - Vị trí của Q1: \[ \text{Vị trí của } Q1 = \frac{n}{4} = \frac{60}{4} = 15 \] Vậy Q1 nằm ở vị trí thứ 15 trong dãy số liệu. - Vị trí của Q2: \[ \text{Vị trí của } Q2 = \frac{2n}{4} = \frac{2 \times 60}{4} = 30 \] Vậy Q2 nằm ở vị trí thứ 30 trong dãy số liệu. - Vị trí của Q3: \[ \text{Vị trí của } Q3 = \frac{3n}{4} = \frac{3 \times 60}{4} = 45 \] Vậy Q3 nằm ở vị trí thứ 45 trong dãy số liệu. 3. Xác định khoảng tử phân vị: - Tìm Q1: - Tần số lũy kế đến nhóm [45; 50) là 7. - Tần số lũy kế đến nhóm [50; 55) là 7 + 19 = 26. - Vị trí 15 nằm trong khoảng từ 7 đến 26, nên Q1 thuộc nhóm [50; 55). - Q1 = 50 + \left( \frac{15 - 7}{19} \right) \times 5 = 50 + \left( \frac{8}{19} \right) \times 5 \approx 50 + 2.11 = 52.11 - Tìm Q2: - Tần số lũy kế đến nhóm [55; 60) là 26 + 7 = 33. - Tần số lũy kế đến nhóm [60; 65) là 33 + 13 = 46. - Vị trí 30 nằm trong khoảng từ 33 đến 46, nên Q2 thuộc nhóm [60; 65). - Q2 = 60 + \left( \frac{30 - 33}{13} \right) \times 5 = 60 + \left( \frac{-3}{13} \right) \times 5 \approx 60 - 1.15 = 58.85 - Tìm Q3: - Tần số lũy kế đến nhóm [65; 70) là 46 + 9 = 55. - Tần số lũy kế đến nhóm [70; 75) là 55 + 5 = 60. - Vị trí 45 nằm trong khoảng từ 46 đến 60, nên Q3 thuộc nhóm [65; 70). - Q3 = 65 + \left( \frac{45 - 46}{9} \right) \times 5 = 65 + \left( \frac{-1}{9} \right) \times 5 \approx 65 - 0.56 = 64.44 4. Kết luận: Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu là: \[ [Q1, Q3] = [52.11, 64.44] \] Đáp số: [52.11, 64.44] Câu 3. Để tìm tọa độ của điểm \( D' \), ta cần xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp \( ABCD.A'B'C'D' \). Trước tiên, ta xác định tọa độ của điểm \( C \): - Vì \( ABCD \) là hình bình hành nên \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \). - Tọa độ của \( \overrightarrow{AB} \) là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2, 0 + 1, 6 - 3) = (-1, 1, 3) \] - Tọa độ của \( \overrightarrow{DC} \) cũng là: \[ \overrightarrow{DC} = C - D = (-1, 1, 3) \] - Do đó, tọa độ của \( C \) là: \[ C = D + \overrightarrow{DC} = (3, 6, 5) + (-1, 1, 3) = (2, 7, 8) \] Tiếp theo, ta xác định tọa độ của điểm \( B' \): - Vì \( AA' \parallel BB' \) và \( AA' = BB' \), nên \( \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} \). - Tọa độ của \( \overrightarrow{AA'} \) là: \[ \overrightarrow{AA'} = A' - A = (-3 - 2, 2 + 1, 5 - 3) = (-5, 3, 2) \] - Tọa độ của \( \overrightarrow{BB'} \) cũng là: \[ \overrightarrow{BB'} = B' - B = (-5, 3, 2) \] - Do đó, tọa độ của \( B' \) là: \[ B' = B + \overrightarrow{BB'} = (1, 0, 6) + (-5, 3, 2) = (-4, 3, 8) \] Cuối cùng, ta xác định tọa độ của điểm \( D' \): - Vì \( DD' \parallel AA' \) và \( DD' = AA' \), nên \( \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AA'} \). - Tọa độ của \( \overrightarrow{DD'} \) là: \[ \overrightarrow{DD'} = D' - D = (-5, 3, 2) \] - Do đó, tọa độ của \( D' \) là: \[ D' = D + \overrightarrow{DD'} = (3, 6, 5) + (-5, 3, 2) = (-2, 9, 7) \] Tọa độ của điểm \( D' \) là \( (-2, 9, 7) \). Tổng \( a + b + c \) là: \[ a + b + c = -2 + 9 + 7 = 14 \] Đáp số: \( 14 \) Câu 4. Lợi nhuận khi sản xuất x sản phẩm là: \[ R(x) = p(x) \cdot x - C(x) \] Thay phương trình giá bán và tổng chi phí vào, ta có: \[ R(x) = (1288 - 7x) \cdot x - (x^3 - 82x^2 + 280x + 120) \] \[ R(x) = 1288x - 7x^2 - x^3 + 82x^2 - 280x - 120 \] \[ R(x) = -x^3 + 75x^2 + 1008x - 120 \] Để tìm số sản phẩm cần sản xuất để công ty có lợi nhuận cao nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( R(x) \). Ta tính đạo hàm của \( R(x) \): \[ R'(x) = -3x^2 + 150x + 1008 \] Đặt \( R'(x) = 0 \) để tìm điểm cực trị: \[ -3x^2 + 150x + 1008 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ x^2 - 50x - 336 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -50 \), \( c = -336 \): \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{(-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-336)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 + 1344}}{2} \] \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{3844}}{2} \] \[ x = \frac{50 \pm 62}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{50 + 62}{2} = 56 \] \[ x_2 = \frac{50 - 62}{2} = -6 \] Vì số sản phẩm không thể âm, nên ta loại nghiệm \( x_2 = -6 \). Vậy ta có \( x = 56 \). Để kiểm tra xem \( x = 56 \) là điểm cực đại hay cực tiểu, ta tính đạo hàm thứ hai của \( R(x) \): \[ R''(x) = -6x + 150 \] Thay \( x = 56 \) vào: \[ R''(56) = -6 \cdot 56 + 150 = -336 + 150 = -186 \] Vì \( R''(56) < 0 \), nên \( x = 56 \) là điểm cực đại. Vậy số sản phẩm cần sản xuất để công ty có lợi nhuận cao nhất là 56 sản phẩm. Câu 5. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 7 + 5x \ln x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(7 + 5x \ln x) \] Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và tích: \[ y' = 0 + 5 \left( \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \right) = 5 (\ln x + 1) \] 2. Tìm điểm cực trị: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ y' = 5 (\ln x + 1) = 0 \] \[ \ln x + 1 = 0 \] \[ \ln x = -1 \] \[ x = e^{-1} = \frac{1}{e} \] 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm: Ta kiểm tra đạo hàm \( y' \) ở hai bên điểm \( x = \frac{1}{e} \): - Khi \( x < \frac{1}{e} \), \( \ln x < -1 \), do đó \( y' < 0 \). - Khi \( x > \frac{1}{e} \), \( \ln x > -1 \), do đó \( y' > 0 \). Điều này cho thấy \( y' \) chuyển từ âm sang dương tại \( x = \frac{1}{e} \), tức là hàm số đạt cực tiểu tại điểm này. 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu: Thay \( x = \frac{1}{e} \) vào hàm số: \[ y = 7 + 5 \left( \frac{1}{e} \right) \ln \left( \frac{1}{e} \right) \] \[ y = 7 + 5 \left( \frac{1}{e} \right) (-1) \] \[ y = 7 - \frac{5}{e} \] 5. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: Biết rằng \( e \approx 2.718 \): \[ \frac{5}{e} \approx \frac{5}{2.718} \approx 1.839 \] \[ y \approx 7 - 1.839 = 5.161 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 7 + 5x \ln x \) là khoảng 5.16 (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 6. Để tính khoảng cách giữa hai chiếc Flycam, ta sẽ sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều. Ta sẽ xác định tọa độ của mỗi chiếc Flycam và sau đó áp dụng công thức khoảng cách. Bước 1: Xác định tọa độ của mỗi chiếc Flycam. - Chiếc Flycam thứ nhất: - Cách điểm xuất phát về phía Đông 27 m, phía Bắc 28 m và cách mặt đất 12 mm (0.012 m). - Tọa độ của chiếc Flycam thứ nhất là \( A(27, 28, 0.012) \). - Chiếc Flycam thứ hai: - Cách điểm xuất phát về phía Tây 13 m, phía Nam 27 m và cách mặt đất 63 m. - Tọa độ của chiếc Flycam thứ hai là \( B(-13, -27, 63) \). Bước 2: Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều. Công thức khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) là: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào tọa độ của hai chiếc Flycam: \[ d = \sqrt{((-13) - 27)^2 + ((-27) - 28)^2 + (63 - 0.012)^2} \] \[ d = \sqrt{(-40)^2 + (-55)^2 + (62.988)^2} \] \[ d = \sqrt{1600 + 3025 + 3967.056} \] \[ d = \sqrt{8592.056} \] \[ d \approx 92.7 \text{ m} \] Vậy khoảng cách giữa hai chiếc Flycam là khoảng 92.7 m.