Câu 16 nhé.

Câu 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x + y \) với điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện xác định của \( x \) và \( y \) là \( x^2 + y^2 = 1 \). Vì đây là phương trình đường tròn đơn vị, nên \( x \) và \( y \) nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Bước 2: Biến đổi biểu thức \( P \) - Ta có \( P = x + y \). Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz - Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số \( (x, y) \) và \( (1, 1) \) là: \[ (x \cdot 1 + y \cdot 1)^2 \leq (x^2 + y^2)(1^2 + 1^2) \] \[ (x + y)^2 \leq (1)(2) \] \[ (x + y)^2 \leq 2 \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P \) - Từ bất đẳng thức trên, ta có: \[ -\sqrt{2} \leq x + y \leq \sqrt{2} \] Bước 5: Kiểm tra các trường hợp biên - Khi \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ P = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] - Khi \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ P = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \] Kết luận: - Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \). - Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Câu 16: Để tìm tổng tất cả các giá trị của \( A \) sao cho khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng bằng 1, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương trình tham số của hai đường thẳng Đường thẳng thứ nhất có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = \lambda - 2t \\ y = 2 + t \\ z = 1 + t \end{cases} \] Đường thẳng thứ hai có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = \sqrt{3} + t' \\ y = 1 - 2t' \\ z = 2 + t' \end{cases} \] Bước 2: Tìm véc-tơ chỉ phương của hai đường thẳng Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng thứ nhất là \(\vec{u_1} = (-2, 1, 1)\). Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng thứ hai là \(\vec{u_2} = (1, -2, 1)\). Bước 3: Tính véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai đường thẳng Véc-tơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của mặt phẳng chứa hai đường thẳng là tích có hướng của \(\vec{u_1}\) và \(\vec{u_2}\): \[ \vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (3, 3, 3) \] Bước 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng là: \[ d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \] với \(\vec{a_1} = (\lambda, 2, 1)\) và \(\vec{a_2} = (\sqrt{3}, 1, 2)\). Tính \(\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\sqrt{3} - \lambda, -1, 1)\). Tính \((\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot \vec{n}\): \[ (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot \vec{n} = (\sqrt{3} - \lambda) \cdot 3 + (-1) \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 3\sqrt{3} - 3\lambda \] Tính \(|\vec{n}|\): \[ |\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = 3\sqrt{3} \] Do đó, khoảng cách \(d\) là: \[ d = \frac{|3\sqrt{3} - 3\lambda|}{3\sqrt{3}} = 1 \] Bước 5: Giải phương trình Giải phương trình: \[ \frac{|3\sqrt{3} - 3\lambda|}{3\sqrt{3}} = 1 \] Điều này tương đương với: \[ |3\sqrt{3} - 3\lambda| = 3\sqrt{3} \] Có hai trường hợp: 1. \(3\sqrt{3} - 3\lambda = 3\sqrt{3}\) dẫn đến \(\lambda = 0\). 2. \(3\sqrt{3} - 3\lambda = -3\sqrt{3}\) dẫn đến \(\lambda = 2\sqrt{3}\). Bước 6: Tính tổng các giá trị của \(\lambda\) Tổng các giá trị của \(\lambda\) là: \[ 0 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \] Vậy tổng tất cả các giá trị của \( A \) là \( 2\sqrt{3} \).