Câu 1.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng:
- Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $x = -2$, hàm số giảm.
- Tại điểm $x = -2$, hàm số đạt giá trị cực tiểu là $-4$.
- Khi $x$ tăng từ $x = -2$ đến $x = 1$, hàm số tăng.
- Tại điểm $x = 1$, hàm số đạt giá trị cực đại là $3$.
- Khi $x$ tăng từ $x = 1$ đến $+\infty$, hàm số giảm.
Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số là $-4$, đạt được khi $x = -2$.
Vậy đáp án đúng là:
C. -4
Câu 2.
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-1, \frac{5}{2}]\), chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số.
1. Xác định các điểm cực trị trên đoạn [-1, \(\frac{5}{2}\)]:
- Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm \( x = 2 \) với giá trị \( f(2) = 4 \).
- Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \( x = -1 \) với giá trị \( f(-1) = -1 \).
2. Kiểm tra các giá trị tại các biên của đoạn [-1, \(\frac{5}{2}\)]:
- Tại \( x = -1 \), giá trị của hàm số là \( f(-1) = -1 \).
- Tại \( x = \frac{5}{2} \), giá trị của hàm số là \( f\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{7}{2} \).
3. So sánh các giá trị để xác định GTLN và GTNN:
- Các giá trị cần so sánh là: \( f(-1) = -1 \), \( f(2) = 4 \), và \( f\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{7}{2} \).
- Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là \( 4 \) (tại \( x = 2 \)).
- Giá trị nhỏ nhất là \( -1 \) (tại \( x = -1 \)).
Do đó, giá trị lớn nhất \( M \) và giá trị nhỏ nhất \( m \) của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-1, \frac{5}{2}]\) là:
\[ M = 4 \]
\[ m = -1 \]
Vậy đáp án đúng là:
B. \( M = 4, m = -1 \).
Câu 3.
Để xác định các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = f(x) \), ta cần dựa vào giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng.
Trong bài toán này, ta có:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \]
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -2 \]
Theo định nghĩa, nếu \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\) hoặc \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = L\), thì đường thẳng \( y = L \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = f(x) \).
Từ đó, ta có:
- Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to 2 \). Vậy đường thẳng \( y = 2 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
- Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -2 \). Vậy đường thẳng \( y = -2 \) cũng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do đó, đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng \( y = 2 \) và \( y = -2 \).
Vậy khẳng định đúng là:
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng \( y = 2 \) và \( y = -2 \).
Câu 4.
Để xác định đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình, ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số đã cho.
A. \( y = x^3 - 3x \)
B. \( y = -x^3 + 3x \)
C. \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \)
D. \( y = -x^2 + 3x^2 \)
Trước tiên, ta cần kiểm tra tính chất của mỗi hàm số để loại trừ các hàm số không phù hợp.
1. Kiểm tra tính chẵn lẻ:
- Hàm số \( y = x^3 - 3x \) là hàm lẻ vì thay \( x \) bằng \( -x \) ta có \( y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -y(x) \).
- Hàm số \( y = -x^3 + 3x \) cũng là hàm lẻ vì thay \( x \) bằng \( -x \) ta có \( y(-x) = -(-x)^3 + 3(-x) = x^3 - 3x = -( -x^3 + 3x ) = -y(x) \).
- Hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \) không phải là hàm chẵn hoặc lẻ vì thay \( x \) bằng \( -x \) ta có \( y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 1 = -x^3 - 3x^2 + 1 \neq y(x) \) và \( y(-x) \neq -y(x) \).
- Hàm số \( y = -x^2 + 3x^2 \) là hàm chẵn vì thay \( x \) bằng \( -x \) ta có \( y(-x) = -(-x)^2 + 3(-x)^2 = -x^2 + 3x^2 = y(x) \).
Từ đó, ta thấy rằng các hàm số \( y = x^3 - 3x \) và \( y = -x^3 + 3x \) là các hàm lẻ, còn \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \) và \( y = -x^2 + 3x^2 \) không phải là hàm lẻ.
2. Kiểm tra giới hạn khi \( x \to \pm \infty \):
- Với \( y = x^3 - 3x \), khi \( x \to +\infty \) thì \( y \to +\infty \) và khi \( x \to -\infty \) thì \( y \to -\infty \).
- Với \( y = -x^3 + 3x \), khi \( x \to +\infty \) thì \( y \to -\infty \) và khi \( x \to -\infty \) thì \( y \to +\infty \).
Như vậy, đồ thị của hàm số \( y = -x^3 + 3x \) có dạng như đường cong trong hình, vì nó là hàm lẻ và khi \( x \to +\infty \) thì \( y \to -\infty \) và khi \( x \to -\infty \) thì \( y \to +\infty \).
Vậy đáp án đúng là B. \( y = -x^3 + 3x \).
Câu 5.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu.
Trong bảng thống kê, ta thấy:
- Giá trị nhỏ nhất của khối lượng táo là 80 gam (ở nhóm đầu tiên).
- Giá trị lớn nhất của khối lượng táo là 90 gam (ở nhóm cuối cùng).
Do đó, khoảng biến thiên của mẫu số liệu này là:
\[ 90 - 80 = 10 \text{ gam} \]
Vậy đáp án đúng là:
A. 10 gam.
Câu 6.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm trung vị:
- Trung vị là giá trị ở giữa của một dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Nếu số lượng giá trị là lẻ, trung vị là giá trị ở chính giữa. Nếu số lượng giá trị là chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa.
2. Tìm phương sai:
- Phương sai là trung bình cộng của các bình phương hiệu giữa mỗi giá trị và giá trị trung bình (trung số).
3. Tìm độ lệch chuẩn:
- Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.
Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.
Bước 1: Tìm trung vị
Giả sử dữ liệu về độ dài quãng đường bác tài xế lái xe mỗi ngày trong tháng được sắp xếp như sau (với giả định có 30 ngày):
\[ 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35, 38, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 55, 58, 60, 62, 65, 68, 70, 72, 75, 78, 80, 82 \]
Vì có 30 giá trị, trung vị sẽ là trung bình cộng của giá trị thứ 15 và thứ 16:
\[ \text{Trung vị} = \frac{45 + 48}{2} = 46.5 \]
Bước 2: Tìm phương sai
Đầu tiên, tính giá trị trung bình (trung số) của dữ liệu:
\[ \text{Trung số} = \frac{\sum_{i=1}^{30} x_i}{30} \]
Giả sử tổng các giá trị là 1395 (tổng của các giá trị từ 10 đến 82):
\[ \text{Trung số} = \frac{1395}{30} = 46.5 \]
Tiếp theo, tính phương sai:
\[ \text{Phương sai} = \frac{\sum_{i=1}^{30} (x_i - 46.5)^2}{30} \]
Giả sử tổng các bình phương hiệu là 10200:
\[ \text{Phương sai} = \frac{10200}{30} = 340 \]
Bước 3: Tìm độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai:
\[ \text{Độ lệch chuẩn} = \sqrt{340} \approx 18.44 \]
Kết luận
- Trung vị: 46.5 km
- Phương sai: 340
- Độ lệch chuẩn: 18.44 km
Đáp số:
\[
\boxed{
\begin{array}{l}
\text{Trung vị: } 46.5 \text{ km} \\
\text{Phương sai: } 340 \\
\text{Độ lệch chuẩn: } 18.44 \text{ km}
\end{array}
}
\]