Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1;3;2, B 3;4;5, C 2;0;0  a) Góc BAC  120 .     b)TacóAB(2;1;3),AC 1;3;2 . c) Tọa độ trọng tâm G  7 7  của tam giác ABC là G 2; ; ...

a) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 4 - 3, -5 + 2) = (2, 1, -3) \] \[ \overrightarrow{AC} = (2 - 1, 0 - 3, 0 + 2) = (1, -3, 2) \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) + (-3) \cdot 2 = 2 - 3 - 6 = -7 \] Tính độ dài các véc-tơ: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \] Tính góc BAC: \[ \cos(\angle BAC) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-7}{14} = -\frac{1}{2} \] \[ \angle BAC = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \] b) Đã tính ở phần trên: \[ \overrightarrow{AB} = (2, 1, -3) \] \[ \overrightarrow{AC} = (1, -3, 2) \] c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{1 + 3 + 2}{3}, \frac{3 + 4 + 0}{3}, \frac{-2 - 5 + 0}{3} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{7}{3}, \frac{-7}{3} \right) = \left( 2, \frac{7}{3}, -\frac{7}{3} \right) \] d) Để kiểm tra tam giác ABC có phải là tam giác đều hay không, ta cần kiểm tra độ dài các cạnh: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{14} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{14} \] \[ \overrightarrow{BC} = (2 - 3, 0 - 4, 0 + 5) = (-1, -4, 5) \] \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42} \] Vì \(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{14}\) nhưng \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{42}\), nên tam giác ABC không phải là tam giác đều. Kết luận: - Góc BAC = 120°. - \(\overrightarrow{AB} = (2, 1, -3)\), \(\overrightarrow{AC} = (1, -3, 2)\). - Trọng tâm G của tam giác ABC là \(G \left( 2, \frac{7}{3}, -\frac{7}{3} \right)\). - Tam giác ABC không phải là tam giác đều.